低次元トポロジーを識別する典型的な定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:15 UTC 版)
「低次元トポロジー」の記事における「低次元トポロジーを識別する典型的な定理」の解説
高次元多様体の研究に有効な使われるツールであっても、低次元多様体へ適用できない定理があり、そのいくつかを挙げる。たとえば、 スティーンロッドの定理は、向きつけられた 3次元多様体は自明な接バンドルを持つという定理である。他の言い方では、3次元多様体の唯一の特性類は向き付け可能性の障害であるということもできる。 任意の閉 3次元多様体は、4次元多様体の境界である。この定理は何人かの人により独立に示された。この定理は、Dehn–Lickorish（英語版）の定理と呼ばれる 3次元多様体のヘーガード分解（英語版）を通して得られる。また、閉多様体のコボルディズム環のルネ・トムの計算からも得られる。 R4 上の異種可微分構造（英語版）の存在は、元々は、サイモン・ドナルドソンとアンドレイ・キャッソン（英語版）の仕事に基づき、マイケル・フリードマンにより得られた。以来、フリードマン、ロバート・ゴンフ（英語版）、クリフォード・タウベス（英語版）やローレンス・テイラーにより、R4 上には微分同相でない滑らか構造が連続して存在することが示された。一方、n ≠ 4 として、Rn は微分同相を除くと滑らか構造はひとつしか存在しないことが知られている。
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