低次数の項
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)
今の例で行ったような計算は、コホモロジー的なスペクトル系列に対しても簡単に適用できる。 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} を第1象限スペクトル系列（定義は後の節参照）とし、減少フィルトレーション 0 = F n + 1 H n ⊂ F n H n ⊂ ⋯ ⊂ F 0 H n = H n {\displaystyle 0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}H^{n}\subset \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}} を持つ H に収束、つまり E ∞ p , q = F p H p + q / F p + 1 H p + q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}} が成り立っているとしよう。p か q が負であれば E 2 p , q {\displaystyle E_{2}^{p,q}} はゼロであるので、 0 → E ∞ 0 , 1 → E 2 0 , 1 → d E 2 2 , 0 → E ∞ 2 , 0 → 0. {\displaystyle 0\to E_{\infty }^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to 0.} が成り立つ。同じ理由で E ∞ 1 , 0 = E 2 1 , 0 {\displaystyle E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}} であり、また F 2 H 1 = 0 {\displaystyle F^{2}H^{1}=0} であるから、 0 → E 2 1 , 0 → H 1 → E ∞ 0 , 1 → 0 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0} となる。 F 3 H 2 = 0 {\displaystyle F^{3}H^{2}=0} であるから、 E ∞ 2 , 0 ⊂ H 2 {\displaystyle E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}} である。列をつなげて、いわゆる5項完全系列（英語版） 0 → E 2 1 , 0 → H 1 → E 2 0 , 1 → d E 2 2 , 0 → H 2 {\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to H^{2}} を得る。
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