低次元多元環の分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:46 UTC 版)
複素数体上の二次元、三次元、および四次元の単型結合多元環（線型環）はエドゥアルト・シュトゥーディ（英語版）によって、同型を除く完全な分類が知られている。 二次元の多元環は二種類で、何れの多元環も単位元 1 ともう一つの元 a の二つの基底元の複素係数線型結合からなる。単位元の定義から 1 ⋅ 1 = 1 , 1 ⋅ a = a , a ⋅ 1 = a {\displaystyle 1\cdot 1=1,\quad 1\cdot a=a,\quad a\cdot 1=a} は確定しているから、残るは a2 を特定すれば決まり、 a 2 = 1 {\displaystyle a^{2}=1} a 2 = 0 {\displaystyle a^{2}=0} の二種である。 三次元の多元環は五種類で、各多元環は単位元 1 とほかに a, b 二つの基底元の複素係数線型結合からなる。単位元の定義を勘案すれば、各々の多元環は以下のように特定できる。 a 2 = a , b 2 = b , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=a,\quad b^{2}=b,\quad ab=ba=0} a 2 = a , b 2 = 0 , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=a,\quad b^{2}=0,\quad ab=ba=0} a 2 = b , b 2 = 0 , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=b,\quad b^{2}=0,\quad ab=ba=0} a 2 = 1 , b 2 = 0 , a b = − b a = b {\displaystyle a^{2}=1,\quad b^{2}=0,\quad ab=-ba=b} a 2 = 0 , b 2 = 0 , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=0,\quad b^{2}=0,\quad ab=ba=0} これらのうち四番目は非可換だが、他はみな可換である。
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