低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異とは? わかりやすく解説

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低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/27 21:24 UTC 版)

幾何学的トポロジー」の記事における「低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異」の解説

多様体は、低次元高次元振る舞い極端に異なっている。 高次元トポロジーは、5 あるいは、それ以上次元多様体を指すか、または、相対的な場合には、余次元が 3 あるいは、それ以上次元埋め込みを指す。一方低次元トポロジーは、4 以下の次元問題関係しているか、あるいは、余次元 2 以下での埋め込み関係している。 次元が 4 は特別で、ある見方トポロジックな)では次元 4 は高次元であることに対し、他の見方微分同相として)では次元 4 は低次元である。この重なりによって、次元 4 では、たとえば、R4 上のエキゾチックな微分構造英語版)(exotic differentiable structures on R4)のような例外的な現象生み出されるこのように4次元多様体トポロジー的な分類原理上は簡単であり、重要な問題は、位相多様体微分可能構造を持つか?と、もし微分可能構造を持つならばどのくらい持つのか?、である。次元が 4 の滑らかな場合は、重要な問題として一般ポアンカレ予想英語版)(generalized Poincaré conjecture)が未だ解決されていないことが挙げられるグルックツイスト英語版)(Gluck twist)を参照。 この差異理由は、次元 5 とそれ以上次元では手術理論英語版)が働くので(実際手術理論次元 4 ではトポロジカルには働くが、その証明は非常に複雑である)、従って、5次元、あるいはそれ以上次元での多様体振る舞いは、手術理論により代数的に制御される4次元それ以下次元位相的に3次元それ以下次元)では、手術理論働かず別の現象発生する実際低次元多様体議論するひとつのアプローチは、「手術理論正しいと予想できるものが、働くであろうか?」と問い、そして、それからの差として低次元現象理解することである。 次元 5 の場合との差異の詳しい理由は、手術理論の基礎となっている重要な技術的トリックであるホイットニー埋め込み定理英語版)(Whitney embedding theorem)が、2 + 1 次元要求するからである。大まかにいうと、このトリックによって、結び目のある球面を"結び目なし"にすることができる。より正確には、はめ込み自己交叉削除できる。このことは円板ホモトピー通して行われる円板次元が 2 であり、ホモトピーはもう 1 次元必要で、従って余次元が 2 より大きければ自己交叉なしで手術を行うことが可能である。従って、余次元が 2 より大きい場合埋め込みは、手術理論考えることが可能である。手術理論では、重要な段階中間次元にあるので、中間次元の余次元が 2 より大きい場合概略では 2½ で十分で、全体次元は 5 で十分である)、ホイットニートリックが働く。この重要な結果が、スメール(Smale)のh-コボルディズム定理英語版)(h-cobordism theorem)であり、次元 5 とそれ以上働き手術理論の基礎をなす。 ホイットニートリック変形は、4 次元でも可能で、キャッソンハンドル(英語版)(Casson handle)と呼ばれる十分な次元存在しないため、ホイットニー円板新し捩れ(kink)を発生させ、それを他のホイットニー円板により解消させることができる。このことから円板の列(「塔」)が発生する。この塔の極限は、トポロジカルではあるが、微分可能ではない写像を得るので、4次元手術トポロジカル機能するが、微分可能ではない。

※この「低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異」の解説は、「幾何学的トポロジー」の解説の一部です。
「低次元トポロジーと高次元トポロジーの差異」を含む「幾何学的トポロジー」の記事については、「幾何学的トポロジー」の概要を参照ください。

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