低次の場合の明示展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
「ベルヌーイ多項式」の記事における「低次の場合の明示展開」の解説
最初のいくつかのnに対するベルヌーイ多項式は以下のようになる。 B 0 ( x ) = 1 {\displaystyle B_{0}(x)=1\,} B 1 ( x ) = x − 1 2 {\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}\,} B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 {\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\,} B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x {\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,} B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 {\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,} B 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 3 x 3 − 1 6 x {\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,} B 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 2 x 4 − 1 2 x 2 + 1 42 . {\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\,} また、最初のいくつかのnに対するオイラー多項式は以下のようになる。 E 0 ( x ) = 1 {\displaystyle E_{0}(x)=1\,} E 1 ( x ) = x − 1 2 {\displaystyle E_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}\,} E 2 ( x ) = x 2 − x {\displaystyle E_{2}(x)=x^{2}-x\,} E 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 4 {\displaystyle E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\,} E 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x {\displaystyle E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x\,} E 5 ( x ) = x 5 − 5 2 x 4 + 5 2 x 2 − 1 2 {\displaystyle E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\,} E 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 x 3 − 3 x . {\displaystyle E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\,}
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