明示的な行列式公式を利用する方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
「メビウス変換」の記事における「明示的な行列式公式を利用する方法」の解説
方程式 w = a z + b c z + d {\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}} は zw-平面における双曲線の標準形 c w z − a z + d w − b = 0 {\displaystyle cwz-az+dw-b=0} と等価であるから、三つ組 (z1, z2, z3) を別の三つ組 (w1, w2, w3) へ写すメビウス変換 H ( z ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(z)} を構成する問題は、(zi, wi) (i = 1, 2, 3) を通る双曲線の係数 a, b, c, d を求める問題に等価である。このとき、明示的な方程式は行列式 det ( z w z w 1 z 1 w 1 z 1 w 1 1 z 2 w 2 z 2 w 2 1 z 3 w 3 z 3 w 3 1 ) {\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}} を評価することによって求められる。この式を第 1-行の各成分を中心として余因子展開することにより得られる a = det ( z 1 w 1 w 1 1 z 2 w 2 w 2 1 z 3 w 3 w 3 1 ) {\displaystyle a=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}} b = det ( z 1 w 1 z 1 w 1 z 2 w 2 z 2 w 2 z 3 w 3 z 3 w 3 ) {\displaystyle b=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}} c = det ( z 1 w 1 1 z 2 w 2 1 z 3 w 3 1 ) {\displaystyle c=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}} d = det ( z 1 w 1 z 1 1 z 2 w 2 z 2 1 z 3 w 3 z 3 1 ) {\displaystyle d=\det \!{\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}} を成分とする表現行列 H = ( a b c d ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}=\left(\scriptstyle {\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)} が得られるが、このようにして得られた H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} の行列式は ( z 1 − z 2 ) ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 3 ) ( w 1 − w 2 ) ( w 1 − w 3 ) ( w 2 − w 3 ) {\displaystyle (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})} に等しく、これはまた zi がどのふたつも一致せず、かつ wi がどのふたつも一致しないならば 0 にはならないから、これによってメビウス変換がきちんと定まる。点 zi または wi の何れかが無限遠点 ∞ であるときは、先によっつの行列式をその変数で割ってからそれを ∞ に飛ばした極限を考えるものとする。
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