明示的な形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 07:58 UTC 版)
「アインシュタインテンソル」の記事における「明示的な形」の解説
リッチテンソルは計量テンソルのみにより与えられるので、アインシュタインテンソルは計量テンソルから直接的に定義することができる。しかしながら、この表現は煩雑で、教科書でも具体的に与えられることは稀である。まずは、クリストッフェル記号を用いて表すと、 G α β = R α β − 1 2 g α β R = R α β − 1 2 g α β g γ ζ R γ ζ = ( δ α γ δ β ζ − 1 2 g α β g γ ζ ) R γ ζ = ( δ α γ δ β ζ − 1 2 g α β g γ ζ ) ( Γ γ ζ , ϵ ϵ − Γ γ ϵ , ζ ϵ + Γ ϵ σ ϵ Γ γ ζ σ − Γ ζ σ ϵ Γ ϵ γ σ ) {\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma })\end{aligned}}} となる。ここで、 δ β α {\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }} はクロネッカーのデルタでクリスとフェル記号 Γ β γ α {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }} は計量を用いて、 Γ β γ α = 1 2 g α ϵ ( g β ϵ , γ + g γ ϵ , β − g β γ , ϵ ) {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon })} と定義される。 キャンセレーションの前に、この公式は、 2 × ( 6 + 6 + 9 + 9 ) = 60 {\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60} 個の個別な項となる。キャンセレーションはこの数をいくらかは小さくする。 一点の近くの局所慣性座標系の特殊な場合には、計量テンソルの一階微分が 0 となり、アインシュタインテンソルの成分による表示はかなり単純化される。 G α β = g γ μ [ g γ [ β , μ ] α + g α [ μ , β ] γ − 1 2 g α β g ϵ σ ( g ϵ [ μ , σ ] γ + g γ [ σ , μ ] ϵ ) ] = g γ μ ( δ α ϵ δ β σ − 1 2 g ϵ σ g α β ) ( g ϵ [ μ , σ ] γ + g γ [ σ , μ ] ϵ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}} ここに、鍵括弧は伝統的に括弧付き添字上で反対称性を表す。つまり g α [ β , γ ] ϵ = 1 2 ( g α β , γ ϵ − g α γ , β ϵ ) {\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon })} である。
※この「明示的な形」の解説は、「アインシュタインテンソル」の解説の一部です。
「明示的な形」を含む「アインシュタインテンソル」の記事については、「アインシュタインテンソル」の概要を参照ください。
- 明示的な形のページへのリンク
