成分による表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:28 UTC 版)
標準的な基底を (ei,ej)=δi,j として、ベクトル a の成分 ai=(ei,a) により列ベクトルとの同一視 a ≐ ( a 1 a 2 a 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\doteq {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}} を行う。ベクトル a、b のベクトル積 [a,b] は [ a , b ] 1 = ( e 1 , [ a , b ] ) = | 1 a 1 b 1 0 a 2 b 2 0 a 3 b 3 | = a 2 b 3 − a 3 b 2 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{1}=({\boldsymbol {e}}_{1},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}1&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} [ a , b ] 2 = ( e 2 , [ a , b ] ) = | 0 a 1 b 1 1 a 2 b 2 0 a 3 b 3 | = a 3 b 1 − a 1 b 3 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{2}=({\boldsymbol {e}}_{2},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\1&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}} [ a , b ] 3 = ( e 3 , [ a , b ] ) = | 0 a 1 b 1 0 a 2 b 2 1 a 3 b 3 | = a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{3}=({\boldsymbol {e}}_{3},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\1&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} あるいは [ a , b ] ≐ ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]\doteq {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\\end{pmatrix}}} となる。以上のことを形式的に [ a , b ] = | e 1 a 1 b 1 e 2 a 2 b 2 e 3 a 3 b 3 | {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&a_{1}&b_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}&a_{2}&b_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}&a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}} と表現することもある。 エディントンのイプシロン εijk を用いると [ a , b ] i = ∑ j , k ϵ i j k a j b k {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}} である。
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