成分と道成分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 06:12 UTC 版)
以下の結果は定義からほとんどすぐに従うがかなり有用である。 補題： X を空間とし、 { Y i } {\displaystyle \{Y_{i}\}} を X の部分集合の族とする。 ⋂ i Y i {\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}} は空でないとする。すると、各 Y i {\displaystyle Y_{i}} が連結（resp. 弧状連結）であれば、和集合 ⋃ i Y i {\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}} は連結（resp. 弧状連結）である。 さて位相空間 X 上の 2 つの関係を考える： x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} に対し、次のように書く： x と y を両方含む X の連結部分集合が存在すれば x ≡ c y {\displaystyle x\equiv _{c}y} x と y を両方含む X の弧状連結部分集合が存在すれば x ≡ p c y {\displaystyle x\equiv _{pc}y} 明らかに関係は両方とも反射的かつ対称的である。さらに、x と y が連結（resp. 弧状連結）部分集合 A に含まれ、y と z が連結（resp. 弧状連結）部分集合 B に含まれていれば、補題によって A ∪ B {\displaystyle A\cup B} は連結（resp. 弧状連結）部分集合であって x, y, z を含む。したがって各関係は同値関係であり、同値類への X の分割を定義する。これらの 2 つの分割を順に考える。 x ∈ X に対して、 y ≡ c x {\displaystyle y\equiv _{c}x} なるすべての点 y の集合 C x {\displaystyle C_{x}} は x の連結成分と呼ばれる。補題によって C x {\displaystyle C_{x}} は x を含む X の一意的な極大連結部分集合である。 C x {\displaystyle C_{x}} の閉包はまた x を含む連結部分集合であるから、 C x {\displaystyle C_{x}} は閉であることが従う。 X が有限個の連結成分しか持たなければ、各成分は閉集合の有限個の和集合の補集合であるから、開である。一般に、連結成分は開とは限らない、なぜなら、例えば、カントール空間のように離散でない完全不連結空間（すなわちすべての点 x に対して C x = { x } {\displaystyle C_{x}=\{x\}} ）が存在するからである。然しながら、局所連結空間の連結成分はまた開であり、したがって開かつ閉集合である。局所連結空間 X はその相異なる連結成分の位相的非交和 ∐ C x {\displaystyle \coprod C_{x}} であることが従う。逆に、X のすべての開部分集合 U に対して U の連結成分が開であれば、X は連結集合の基底を持ちしたがって局所連結である。 同様に、x ∈ X に対して、 y ≡ p c x {\displaystyle y\equiv _{pc}x} なるすべての点 y の集合 P C x {\displaystyle PC_{x}} は x の道成分 (path component) と呼ばれる。上のように、 P C x {\displaystyle PC_{x}} もまた x を含む X のすべての弧状連結部分集合の和集合であるから、補題によってそれ自身弧状連結である。弧状連結集合は連結であるから、すべての x ∈ X に対して P C x ⊂ C x {\displaystyle PC_{x}\subset C_{x}} が成り立つ。 しかしながら弧状連結集合の閉包は弧状連結とは限らない： 例えば、位相幾何学者の正弦曲線は x > 0 なるすべての点 (x, y) からなる開部分集合 U の閉包であり、U は実数直線の区間に同相であるので、確かに弧状連結である。さらに、位相幾何学者の正弦曲線 C の道成分は開だが閉でない U と閉だが開でない C ∖ U {\displaystyle C\setminus U} である。 空間が局所弧状連結であることとすべての開部分集合 U に対して U の道成分が開であることは同値である。したがって局所弧状連結空間の道成分は X のどの 2 つも互いに素な開集合への分割を与える。局所弧状連結空間の開連結部分空間は必ず弧状連結であることが従う。さらに、空間が局所弧状連結であれば、局所連結でもあるので、すべての x ∈ X に対して、 C x {\displaystyle C_{x}} は連結かつ局所弧状連結であり、したがって弧状連結である、すなわち C x = P C x {\displaystyle C_{x}=PC_{x}} である。つまり、すべての局所弧状連結空間に対して成分と道成分は一致する。 例 1. 辞書順序位相（英語版）における集合 I × I （ただし I = [0,1]）は（連結だから）ちょうど 1 つの成分を持つが非可算個の道成分を持つ。実際、a ∈ I に対して {a} × I の形の任意の集合は道成分である。 2. （R に下極限位相（英語版）を与えて）f を R から Rℓ への連続写像とする。R は連結であり連続写像の下での連結空間の像は連結でなければならないから、R の f による像は連結でなければならない。したがって、R の f による像は Rℓ の成分の部分集合でなければならない。この像は空でないから、R から Rℓ への連続写像は定値写像のみである。実は、連結空間から完全不連結空間への任意の連続写像は定値でなければならない。
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