集合の閉包
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/13 01:13 UTC 版)
「閉包 (位相空間論)」の記事における「集合の閉包」の解説
集合 S の閉包とは、S の触点全体の成す集合を言い、cl(S) や Cl(S) あるいは S や S− などで表す。集合の閉包は以下のような性質を持つ。 cl(S) は S を含む閉集合（閉拡大集合）である。 cl(S) は S を含む閉集合全ての交わりに一致する。 cl(S) は S を含む最小の閉集合である。 集合 S が閉であるための必要十分条件は S = cl(S) を満たすことである。 S が T の部分集合ならば cl(S) は cl(T) の部分集合である。 A が閉集合であるならば、A が S を含むことと A が cl(S) を含むこととは同値である。 二番目と三番目の性質はしばしば位相的な閉包（作用素）の定義として用いられるもので、また他の種類の閉包作用に対しても意味を持つ（後述）。 （距離空間などの）第一可算空間では、cl(S) は S 内のあらゆる収斂点列の極限全体の成す集合に一致する。一般の位相空間に対しては、「点列」を「有向点族」または「フィルター」に置き換えたものが成り立つ。 双対性により、上記の性質において、「閉包」・「拡大集合」・「交叉」・「含む」・「最小」・「閉」をそれぞれ「内部」・「部分集合」・「合併」・「含まれる」・「最大の」・「開」に置き換えたものもやはり成立する。詳細は後述。
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