集合の圏の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/11 13:57 UTC 版)
集合の圏 Set におけるエピ射（圏論的全射、全型射）は上への写像（集合論的全射、全写像）であり、モノ射（圏論的単射、単型射）は一対一（集合論的単射、単写像）である。また同型射は集合論的双射（全単射）で与えられる。 集合の圏 Set における始対象は空集合（に空写像をその唯一の射と考えたもの）で与えられ、終対象は任意の単集合（で、始域のすべての元をその唯一の元に写す写像を射としたもの）で与えられる。ゆえに集合の圏 Set において零対象は存在しない。 集合の圏 Set は完備かつ余完備（英語版）である。Set における積（圏論的直積）は集合のデカルト積（集合論的直積）で与えられ、余積（圏論的直和）は非交和（集合論的直和）で与えられる。 集合の圏 Set は具体圏（英語版）の原型であり、圏が具体的 (concrete) であるとは適当な意味において Set 「のように」扱えることを意味している。 任意の二元集合が Set の分類子（英語版）となる。集合 A の（トポスの意味での）冪対象は A の冪集合 𝒫(A) で与えられ、集合 A, B の指数対象は A から B への写像全体の成す集合（配置集合）BA で与えられる。すなわち Set はトポス（特にデカルト閉）である。 集合の圏 Set はアーベルでも加法的でも前加法的でもない。 右零射は空写像 ∅ → X で与えられる。 Set の始対象でない任意の対象は入射的かつ（選択公理を仮定すれば）射影的である。
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