集合の代数学の基本法則とは? わかりやすく解説

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集合の代数学の基本法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/24 05:42 UTC 版)

集合の代数学」の記事における「集合の代数学の基本法則」の解説

和集合共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式満足する。その一部には法則としての名称がある。以下で命題として証明なしで3つの規則を示す。 命題 1: 任意の集合 A、B、C について、以下が成り立つ。 交換法則: A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cup B=B\cup A} A ∩ B = B ∩ A {\displaystyle A\cap B=B\cap A} 結合法則: ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) {\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)} ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)} 分配法則: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)} A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)} 和集合共通部分が数の加法と乗法性質が非常によく似ている点に注意が必要である。加法乗法同じく和集合共通部分操作可換結合的であり、共通部分和集合に対して分配的である。しかし、加法乗法異なる点として、和集合共通部分に対して分配的である。 次の命題では3つの特殊な集合に関する2組規則示している。3つの特殊な集合とは、空集合普遍集合universal set)、補集合である。 命題 2: 普遍集合 U の任意の部分集合 A について、以下が成り立つ。 同一性規則identity laws): A ∪ ∅ = A {\displaystyle A\cup \varnothing =A} A ∩ U = A {\displaystyle A\cap U=A} 相補性規則complement laws): A ∪ A C = U {\displaystyle A\cup A^{\mathrm {C} }=U} A ∩ A C = ∅ {\displaystyle A\cap A^{\mathrm {C} }=\varnothing } 同一性規則(と相補性規則)は、加法乗法で 0 と 1 がそうであるように、∅ と U が和集合共通部分単位元であることを示している。 加法乗法とは異なり和集合共通部分逆元持たない。しかし、相補性規則一種逆元的な集合相補性単項演算基本的性質示している。 以上の5組規則交換結合分配同一性相補性)が集合の代数学基本であり、これらから全ての集合の代数学定理生まれる。

※この「集合の代数学の基本法則」の解説は、「集合の代数学」の解説の一部です。
「集合の代数学の基本法則」を含む「集合の代数学」の記事については、「集合の代数学」の概要を参照ください。

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