集合の代数学

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集合の代数学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/10 08:21 UTC 版)

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集合の代数学（しゅうごうのだいすうがく、英: algebra of sets）は、集合の集まりを結び・交わり・補演算といった集合演算、集合の相等関係・包含関係のような二項関係などを持つ体系として捉えたものである。集合の代数学を考えることで、集合に関する基本的な性質・法則を明らかにし、これらの演算や関係に伴って必要となる式の評価や計算の実行に関して系統的な扱いができるようになる。

はじめに

集合の代数学は、集合操作と集合関係の基本的性質を扱う。これらの性質は集合の根本的性質への洞察を提供するとともに、実用的な側面も持っている。

通常の算術における式やその計算とまったく同様に、集合に関する式や計算も複雑になりうるから、そのような式の評価や効率的な計算を自在に行うために、体系的な取り扱い方を有しているということは有効である。

算術について、演算と関係の基本性質を扱うのは初等代数学である。

例えば、加法と乗法は、結合法則、交換法則、分配法則といったよく知られた法則に従う。また、「—以下」といった関係は反射律、反対称律、推移律といった法則に従う。これらの規則は数や数の操作や関係の基本的性質を表しているだけでなく、計算を容易にするツールとしても働く。

集合の代数学は、そのような初等代数学を集合論に適用するものである。和集合、共通部分、差集合といった集合論的操作や等価性や部分性の関係に関する代数学である。集合そのものについては集合の項目や素朴集合論の項目を参照。また、集合の厳密な公理的扱いについては公理的集合論を参照。

集合の代数学の基本法則

和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満足する。その一部には法則としての名称がある。以下で命題として証明なしで3つの規則を示す。

命題 1: 任意の集合 A、B、C について、以下が成り立つ。

交換法則:

• ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$