包含の代数学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:42 UTC 版)
次の命題は、部分集合に半順序が成り立つことを示している。 命題 6: 集合 A、B、C について次が成り立つ。 反射律: A ⊆ A {\displaystyle A\subseteq A} 反対称律: A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} かつ B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} であることと A = B {\displaystyle A=B} は等価 推移律: A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} で、かつ B ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C} であるなら、 A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} が成り立つ。 次の命題は、任意の集合 S とその冪集合に包含関係の順序性、上限と下限があり、分配法則と相補性の規則からブール代数が導かれることを示している。 命題 7: 集合 A、B、C が集合 S の部分集合であるとき、以下が成り立つ。 下限と上限の存在: ∅ ⊆ A ⊆ S {\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S} 結びの存在: A ⊆ A ∪ B {\displaystyle A\subseteq A\cup B} A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} で、かつ B ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C} なら、 A ∪ B ⊆ C {\displaystyle A\cup B\subseteq C} が成り立つ。 交わりの存在: A ∩ B ⊆ A {\displaystyle A\cap B\subseteq A} C ⊆ A {\displaystyle C\subseteq A} で、かつ C ⊆ B {\displaystyle C\subseteq B} なら、 C ⊆ A ∩ B {\displaystyle C\subseteq A\cap B} が成り立つ。 次の命題は A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} という式を和集合や積集合や補集合を使って表現できることを示している。 命題 8: 任意の2つの集合 A と B について、以下の式は等価である。 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} A ∩ B = A {\displaystyle A\cap B=A} A ∪ B = B {\displaystyle A\cup B=B} A − B = ∅ {\displaystyle A-B=\varnothing } B C ⊆ A C {\displaystyle B^{\mathrm {C} }\subseteq A^{\mathrm {C} }} この命題は集合の包含関係を和集合や共通部分で表せることを示しており、換言すれば包含関係の記述は公理的に冗長である。
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