包含関係による順序
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:52 UTC 版)
冪集合は包含関係を順序として順序集合になる。冪集合を底となる集合、包含関係を順序とする順序集合 ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )} （ここでの ⊂ {\displaystyle \subset } は集合が一致する場合も含む）に順序同型な順序集合は単体様半順序集合 (simplex-like Poset) と呼ばれ、単体の一つの組合せ論的な特徴づけを与える（底となる P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} から空集合を抜いた順序集合を指すこともある）。また、冪集合 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} に包含関係と逆の順序 ⊂ o p p {\displaystyle \subset ^{\mathrm {opp} }} A ⊂ o p p B ⟺ A ⊃ B {\displaystyle A\subset ^{\mathrm {opp} }B\iff A\supset B} を与えた順序集合 ( P ( S ) , ⊂ o p p ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset ^{\mathrm {opp} })} は、もとの順序集合 ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )} に順序同型で、その対応は補集合をとる操作 ( P ( S ) , ⊂ o p p ) ∋ A ⟼ ≃ A c = S ∖ A ∈ ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset ^{\mathrm {opp} })\ni A\ {\stackrel {\simeq }{\longmapsto }}\ A^{c}=S\smallsetminus A\in ({\mathcal {P}}(S),\subset )} によって与えられる。またこの対応で、集合の結びと交わりが互いに入れ替わる（双対性：ド・モルガンの法則）、対称差は不変（自己双対性）などを見て取ることができる。 順序集合 ( P ( S ) , ⊂ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subset )} の部分集合である集合族 M ⊂ P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(S)} が与えられたとき、集合族の結びや交わりをとる操作 sup ( M ) = ⋃ M = ⋃ m ∈ M m , inf ( M ) = ⋂ M = ⋂ m ∈ M m {\displaystyle \sup({\mathfrak {M}})=\bigcup {\mathfrak {M}}=\bigcup _{m\in {\mathfrak {M}}}m,\quad \inf({\mathfrak {M}})=\bigcap {\mathfrak {M}}=\bigcap _{m\in {\mathfrak {M}}}m} は、この集合族に対して包含関係による順序に関する上限と下限を与える。とくに、 S {\displaystyle S} の二つの部分集合 A , B {\displaystyle A,B} について A ∨ B := sup { A , B } = A ∪ B {\displaystyle A\vee B:=\sup\{A,B\}=A\cup B} A ∧ B := inf { A , B } = A ∩ B {\displaystyle A\wedge B:=\inf\{A,B\}=A\cap B} を考えることにより、組 ( P ( S ) , ∧ , ∨ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\land ,\lor )} は完備束となる。完備束の条件は空で無い部分集合族に対する上限・下限の存在を要求するものであるが、冪集合の束では集合族 M ⊂ P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(S)} が空集合であるときにも sup ( ∅ ) = ∅ , inf ( ∅ ) = S {\displaystyle \sup(\varnothing )=\varnothing ,\quad \inf(\varnothing )=S} が冪集合 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} の中に存在する。
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