順序集合の例とは? わかりやすく解説

順序集合の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)

順序集合」の記事における「順序集合の例」の解説

実数全体集合 R およびその部分集合例えば、自然数全体集合 N, 整数全体集合 Z, 有理数全体集合 Q)は、通常の大小関係により全順序集合となる。しかし、複素数全体集合 C には複素数乗法と"両立"する全順序存在しない順序体でない)。単に全順序入れるだけであれば直積集合 R × R に辞書式順序定めることができる。 自然数全体の成す集合整除関係を順序として半順序集合である。 集合の冪集合に対して包含関係による順序入れると半順序集合となる。これはもとの集合の元の個数が2個以上であれば全順序でない。例えば {1, 2, 3} の冪集合 { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } {\displaystyle {\bigl \{}\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}{\bigr \}}} について、例えば {1, 2} と {2, 3} を考えれば、これらは比較不能であり({1, 2} ≤ {2, 3} でも {2, 3} ≤ {1, 2} でもない)、全順序ではない。 線形空間部分空間全体包含関係順序付けられた半順序集合である。 半順序集合 P に対し、P の元の(自然数添え字付けられた)列全体の成す集合は、列 a = (an)n∈N, b = (bn)n∈N に対し、 a ≤ b ⟺ a n ≤ b n ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle a\leq b\iff a_{n}\leq b_{n}\;(\forall n\in \mathbb {N} )} と定めると半順序集合となる。 集合 X と半順序集合 P に対し、X から P への写像全体の成す写像空間英語版)は、2つ写像 f, g に対して、f ≤ g を X の任意の元 x に対して f(x) ≤ g(x) となることとし定義すると、半順序集合になる。 有向非巡回グラフ頂点集合は、到達不可能性によって順序付けられる。 半順序集合における順序関係向きが a < b > c < d … というように交互に入れ替わる列をフェンス英語版)と呼ぶ。

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