順序統計量の分布（一般の場合）
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「順序統計量」の記事における「順序統計量の分布（一般の場合）」の解説
いま X1, X2,..., Xn は 無作為抽出での標本であるとする。すなわち、同一分布に従い、互いに独立 である（i.i.d.）とする。さらに、これらは連続分布を持つ確率変数であり、f (x) がその確率密度関数、F (x) が累積分布関数とする。また、これらを小さい順に並べた順序統計量をX(1), X(2),..., X(n) とする。この時、k 番目の順序統計量X(k)の累積分布関数は次で与えられる。 F X ( k ) ( x ) = ∑ j = k n ( n j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) n − j {\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{n-j}} また、その確率密度関数は f X ( k ) ( x ) = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! F ( x ) k − 1 ( 1 − F ( x ) ) n − k f ( x ) {\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x)} となる。 特に最小値 X ( 1 ) {\displaystyle X_{(1)}} 、最大値 X ( n ) {\displaystyle X_{(n)}} については、 F X ( 1 ) ( x ) = 1 − { 1 − F ( x ) } n F X ( n ) ( x ) = { F ( x ) } n {\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(1)}}(x)&=1-\{1-F(x)\}^{n}\\F_{X_{(n)}}(x)&=\{F(x)\}^{n}\end{aligned}}} となる。 導出の詳細 累積分布関数 F X ( k ) ( x ) = P ( X ( k ) ≤ x ) {\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=P\left(X_{(k)}\leq x\right)} において、確率値P( ) 内の事象は『n 個中少なくとも k 個の Xi が x 以下』 = 『x 以下の値がn 回の試行中 k 回以上発生する』を意味することから F X ( k ) ( x ) = ∑ j = k n ( n j ) P ( X ≤ x ) j ( 1 − P ( X ≤ x ) ) n − j = ∑ j = k n ( n j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) n − j {\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(k)}}(x)&=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}P(X\leq x)^{j}(1-P(X\leq x))^{n-j}\\&=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{n-j}\end{aligned}}} が成り立つ。 確率密度関数と累積分布関数の関係に注意すれば、 f X ( k ) ( x ) = d d x F X ( k ) ( x ) = d d x ∑ j = k n ( n j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) n − j = n f ( x ) ( ∑ j = k − 1 n − 1 ( n − 1 j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − j − ∑ j = k n ( n − 1 j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − j ) {\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{(k)}}(x)&={\frac {d}{dx}}F_{X_{(k)}}(x)\\&={\frac {d}{dx}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{n-j}\\&=nf(x)\left(\sum _{j=k-1}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{(n-1)-j}-\sum _{j=k}^{n}{\binom {n-1}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{(n-1)-j}\right)\end{aligned}}} となる。上記の畳み込み級数の総和は、最初と最後の項以外は全て相殺されるため = n f ( x ) ( ( n − 1 k − 1 ) F ( x ) k − 1 ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − ( k − 1 ) − ( n − 1 n ) F ( x ) n ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − n ) {\displaystyle =nf(x)\left({\binom {n-1}{k-1}}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{(n-1)-(k-1)}-{n-1 \choose n}F(x)^{n}(1-F(x))^{(n-1)-n}\right)} となる。さらに第二項はゼロとなるから = n f ( x ) ( n − 1 k − 1 ) F ( x ) k − 1 ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! F ( x ) k − 1 ( 1 − F ( x ) ) n − k f ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&=nf(x){\binom {n-1}{k-1}}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{(n-1)-(k-1)}\\&={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x).\end{aligned}}} を得る。
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順序統計量の分布（一様分布での例）
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この節では、特に単位区間上の一様分布からの順序統計量を考え、それがベータ分布族に属する周辺分布を持つことを示す。また、任意個の順序統計量の同時分布を求め、累積分布関数を用いて任意の連続型分布のケースに一般化する簡単な方法を示す。 なお、 X1, X2,..., Xn が、累積分布関数 FX を持つ連続型分布から得られた無作為標本とすると、 Ui = FX(Xi) と置くことによって、標準一様分布にしたがう無作為標本 U1,..., Un が得られることに注意する。また、対応する順序統計量X(1), X(2),..., X(n)においても、U(i) = FX(X(i)) が成り立つことに注意する。
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