順序組として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 07:36 UTC 版)
H の基底 1, i, j, k を用いて H を四つ組の集合 H = { ( a , b , c , d ) ∣ a , b , c , d ∈ R } {\displaystyle \mathbb {H} =\{(a,b,c,d)\mid a,b,c,d\in \mathbb {R} \}} として表すことができる。このとき基底元は 1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , i = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) , k = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}1&=(1,0,0,0),\\i&=(0,1,0,0),\\j&=(0,0,1,0),\\k&=(0,0,0,1)\end{aligned}}} であり、加法、乗法の定義式は ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) + ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 , d 1 + d 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1},\,b_{1},\,c_{1},\,d_{1})+(a_{2},\,b_{2},\,c_{2},\,d_{2})\\&\quad =(a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2},\,c_{1}+c_{2},\,d_{1}+d_{2})\end{aligned}}} ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 , a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 , a 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 , a 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 a 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\,b_{1}&,\,c_{1},\,d_{1})(a_{2},\,b_{2},\,c_{2},\,d_{2})\\=(&a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2},\\&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2},\\&a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2},\\&a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\end{aligned}}} で与えられる。
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