ドモルガン‐の‐ほうそく〔‐ハフソク〕【ドモルガンの法則】
ド・モルガンの法則
【英】De Morgan's laws
ド・モルガンの法則とは、論理学や集合論で使われる定理の一種で、論理積、論理和の否定に関する関係を示す定理のことである。
ド・モルガンの法則では、条件AとBがあるとき、NOTを否定、ANDを論理積、ORを論理和とすると、次のような関係式が成立するとしている。
NOT (A AND B) = NOT(A) OR NOT(B)、NOT (A OR B) = NOT(A) AND NOT(B)これを具体例に当てはめてみると、「成人の男性」の否定は「成人でないか男性でない」すなち「未成年か女性」と同じことであり、「成人か男性」の否定は「成人でなく男性でない」すなち「未成年の女性」と同じことである、と表現することができる。
ド・モルガンの法則は、回路設計や複雑な演算を簡易に表現できることから、コンピュータ科学においても欠かせない重要な法則とされている。
ド･モルガンの法則は、17世紀英国の数学者で論理学者、ド・モルガン（Augustus De Morgan）によって考案された。かれが法則の名称の由来でもある。
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が
ド・モルガンの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/30 16:17 UTC 版)
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ド・モルガンの法則（ド・モルガンのほうそく、英: De Morgan's laws）は、ブール論理や集合の代数学において、論理和と論理積と否定（集合のことばでは、和集合と共通部分と差集合）の間に成り立つ規則性である。名前は数学者オーガスタス・ド・モルガン（Augustus de Morgan, 1806–1871）にちなむ。
この規則性（論理のことばで言うと「真と偽を入れ替え、論理和と論理積を入れ替えた論理体系」）は、元の論理体系と同一視できる、ということであるので、ド・モルガンの双対性（英: De Morgan's duality）と呼ばれることもある。
命題論理における法則
任意の命題 
ド・モルガンの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 07:48 UTC 版)
P, Q をある集合の部分集合とするとき、 ( P ∪ Q ) c = P c ∩ Q c ( P ∩ Q ) c = P c ∪ Q c {\displaystyle {\begin{aligned}(P\cup Q)^{\mathrm {c} }&=P^{\mathrm {c} }\cap Q^{\mathrm {c} }\\(P\cap Q)^{\mathrm {c} }&=P^{\mathrm {c} }\cup Q^{\mathrm {c} }\end{aligned}}} が成り立つことが分かる。これはもっと一般化できて、{Pλ}λ∈Λ をある基礎となる集合の部分集合の族とするときに、 ( ⋃ λ ∈ Λ P λ ) c = ⋂ λ ∈ Λ P λ c ( ⋂ λ ∈ Λ P λ ) c = ⋃ λ ∈ Λ P λ c {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }\right)^{\mathrm {c} }&=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }^{\mathrm {c} }\\\left(\bigcap _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }\right)^{\mathrm {c} }&=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }^{\mathrm {c} }\end{aligned}}} が成り立つ。これらをド・モルガンの法則という。 この法則は、対応する論理記号の性質（特に双対性）を反映したものである。詳しくは記号論理学の項目を参照。
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