全否定と部分否定

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全否定と部分否定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/25 04:11 UTC 版)

「ド・モルガンの法則」の記事における「全否定と部分否定」の解説

全否定や部分否定をどう言い換えるかという問題は（述語論理における）ド・モルガンの法則が扱う問題と本質的には同じである。 例えば x が本を表す変数として、「本 x が好きだ」という言明を A(x) と書くことにすると、肯定文「すべての本が好きだ」は「全ての x に対し A(x)」となる。 この文の部分否定「すべての本を好きだというわけではない」は「全ての x に対し A(x)」の否定であり、ド・モルガンの法則によって「ある x に対し ￢A(x)」、すなわち「好きでない本もある」となる。全否定の文「すべての本が嫌いだ」は「全ての x に対し ￢A(x)」と表せ、ド・モルガンの法則によって「ある x に対し A(x)」の否定、「好きな本はない」ということになる。

全否定と部分否定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/21 05:11 UTC 版)

「否定」の記事における「全否定と部分否定」の解説

ある対象に関する命題で、対象すべてに関する否定を全否定、一部に関する否定を部分否定という。これらは、述語論理において、次のように表現される。 全否定 ∀ x ¬ A(x) 「すべての x について、「A(x) でない」」あるいは「絶対に A(x) ではない」 すべての x に対して、命題 A(x) の否定を主張する命題。 部分否定 ¬ ∀ x A(x) 「「すべての x について A(x)」というわけではない」あるいは「必ずしも A(x) ではない」 「すべての x に対して命題 A(x) が真である」という命題を否定する命題。 これらは、述語論理に関するド・モルガンの法則によって、次のように書き換えることができる。 全否定 ∀ x ¬ A(x) = ¬ ∃ x A(x) 部分否定 ¬ ∀ x A(x) = ∃ x ¬ A(x) つまり、全否定「すべての x について、「P(x) でない」」は、「「ある x について P(x)」ということはない」と言い換えることができ、部分否定「「すべての x について P(x)」というわけではない」は、「ある x については「P(x) ではない」」と言い換えることができる。 全否定命題の否定は部分肯定、部分否定命題の否定は全肯定である。