じゅつご‐ろんり【述語論理】
述語論理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/18 06:46 UTC 版)
（じゅつごろんり、英: predicate logic）とは、数理論理学における記号的形式体系群を指す用語で、一階述語論理、二階述語論理、多ソート論理、無限論理などが含まれる。これらの形式体系の特徴は、論理式に含まれる変数を量化できる点である。一般的な量化子として、 全称量化子 ∀ と存在量化子 ∃ とがある。変数は議論領域の要素、関係、関数などである。例えば、関数記号に対する存在量化は「ある関数が存在する」という修飾として解釈される。述語論理の基礎は、ゴットロープ・フレーゲとチャールズ・サンダース・パースがそれぞれ独自に生み出し発展させた[1]。
- ^ Eric M. Hammer: Semantics for Existential Graphs, Journal of Philosophical Logic, Volume 27, Issue 5 (October 1998), page 489: "Development of first-order logic independently of Frege, anticipating prenex and Skolem normal forms"
- ^ 英: predicate calculus
- ^ 例えば、(Stolyar 1970, p. 166)。 (Hamilton 1978)では、どちらも calculus だとしているが、形式的なものと非形式的なものに分類している。
- 1 述語論理とは
- 2 述語論理の概要
述語論理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/10 14:38 UTC 版)
一階述語論理 Q S {\displaystyle {\mathcal {QS}}} における論理式の定義は、その理論のシグネチャ（英語版）に左右される。シグネチャとは、当該理論の非論理記号である定数記号、述語記号、関数記号を指定するもので、同時に関数記号や述語記号のアリティ（引数の数）の定義もシグネチャに含まれる。 シグネチャ Σ {\textstyle \Sigma } を指定したうえで、項を以下によって再帰的に定義する。項とは、議論領域の対象物を表現したものである。 任意の変数は項である。 シグネチャ Σ {\textstyle \Sigma } に含まれる任意の定数記号は項である。 t1、…、tn が項、f がアリティ n の関数記号ならば、f(t1,…,tn) は項である。 次に原子論理式が定義される。 t1 と t2 が項ならば、t1=t2 は原子論理式である。 R がアリティ n の述語記号、t1、…、tn が項ならば、R(t1,…,tn) は原子論理式である。 最後に論理式は、原子論理式の集合を含む最小の集合として次のように定義される。 任意の原子論理式は論理式である。 ϕ {\displaystyle \ \phi } が論理式ならば、 ¬ ϕ {\displaystyle \neg \phi } は論理式である。 ϕ {\displaystyle \ \phi } と ψ {\displaystyle \ \psi } が論理式ならば、 ( ϕ ∧ ψ ) {\displaystyle (\phi \land \psi )} と ( ϕ ∨ ψ ) {\displaystyle (\phi \lor \psi )} は論理式である。 x {\displaystyle \ x} が変数、 ϕ {\displaystyle \ \phi } が論理式ならば、 ∃ x ϕ {\displaystyle \exists x\,\phi } は論理式である。 x {\displaystyle \ x} が変数、 ϕ {\displaystyle \ \phi } が論理式ならば、 ∀ x ϕ {\displaystyle \forall x\,\phi } は論理式である（ ∀ x ϕ {\displaystyle \forall x\,\phi } は ¬ ∃ x ¬ ϕ {\displaystyle \neg \exists x\,\neg \phi } の省略形と定義することもできる）。 何らかの変数 x {\displaystyle \ x} があるとき、 ∃ x {\displaystyle \exists x} あるいは ∀ x {\displaystyle \forall x} が全く出現しない論理式は量化子のない論理式と呼ばれる。量化子のない論理式の前に存在量化がある論理式を存在論理式と呼ぶ。
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述語論理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/03 16:14 UTC 版)
述語論理においては、トートロジーを考える事はないが、同様な概念を考える事ができる。論理式が、全ての解釈にたいして真になるとき、この論理式は恒真 (validity) で、妥当式 (valid wff) になる。少なくとも一つの解釈で論理式が真になるとき、この論理式は充足可能 (en:Satisfiability) で、充足可能式 (satisfiable wff) になる。全ての解釈で論理式が偽になるとき、この論理式は充足不可能で、矛盾式 (contradictory wff) になる。
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