無限論理

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無限論理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/01 10:06 UTC 版)

数理論理学または順序数の概念に詳しくない者はまずそちらの記事を参考にすることが推奨される。

無限論理 (むげんろんり、英: infinitary logic) は、無限に長い言明および／または無限に長い証明を許す論理である。

概要

いくつかの無限論理は標準的な一階述語論理とは異なる性質を持つ。特に、無限論理はコンパクト性や完全性を満たさないことが多い。コンパクト性や完全性の概念は、有限論理においては等価であることもあるが、無限論理においてはそうではない。無限論理においては強いコンパクト性や強い完全性の概念が定義される。この記事では、ヒルベルト型無限論理について主に述べる。この型はかなり研究されてきており、有限論理の最も直接的な拡張を構成している。しかしながら、これらは形式化されているまたは研究対象となっている唯一の無限論理ではない。

Ω-論理という無限論理が完全かどうかを考察することは連続体仮説の解明につながる。

表記法に関する語および選択公理

無限に長い式・句を伴う言語が存在すると、全ての式を書き下すことは不可能である。この問題を避けるには、多くの都合の良い表記法が使われる。これらの表記法自体は厳密に言うと形式言語の一部ではない。 $\cdots$