一階述語論理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/15 09:03 UTC 版)
一階述語論理（英: first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（英: second-order predicate logic）と呼び、さらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理（英: higher-order predicate logic）という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細はそれぞれの記事を参照。
一階述語論理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 02:07 UTC 版)
詳細は「一階述語論理」を参照 一階論理は特定の形式的体系である。その構文論（証明論）は有限個の表現―構文的に正しい（well-formed）式だけからなるが、その意味論は量化子を固定された議論領域への制限として特徴付けられる。 形式論理の初期の結果は一階論理の限界を明らかにした。レーヴェンハイム＝スコーレムの定理（1919）は、可算な一階の言語における文の集合が無限モデルを持つならば、それは任意の濃度のモデルを少なくともひとつ持つことを示した。これは一階論理の公理系によって、自然数、実数ほか、いかなる無限構造も同型を除いて特徴づけることができないことを示している。初期の基礎論的研究の目標が数学の全部分の公理的理論を生み出すことであったから、この限界はとりわけ冷徹なものであった。 ゲーデルの完全性定理 (Gödel 1929) は一階論理の論理的帰結に対する構文論的定義と意味論的定義の同値性を確立した。これは、もしある特定の文が、ある特定の公理の集合を満たすあらゆるモデルで真であるならば、それらの公理からその文への有限な演繹が存在することを示している。
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一階述語論理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/05 04:57 UTC 版)
詳細は「一階述語論理」を参照 普遍代数がシグネチャ（英語版）の意味論を与える一方、論理は統語論を与える。恒等式および疑恒等式（英語版）の項とともに、普遍代数はいくつかの限定的な統語論のツールも利用している。例えば、一階述語論理は量化を明確にし否定を取り入れた結果である。
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