数学基礎論

デジタル大辞泉

すうがく‐きそろん【数学基礎論】

読み方：すうがくきそろん

数学の基礎に関する理論。19世紀に導入された集合論が逆理（逆説）を派生させたが、その反省から生まれた、数学とはいかなるものであるべきかの理論。20世紀初頭に成立。記号論理学を用いる。

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数学基礎論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/21 05:20 UTC 版)

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数学基礎論（すうがくきそろん、英: foundations of mathematics^[1], mathematical logic and foundations of mathematics^[2]）は、現在の日本では、もっぱら数理論理学（mathematical logic）を指す言葉として使われる^{[3][4][5][注 1]}。

概要

数学書での解説

• 新井敏康『数学基礎論 Mathematical Logic』（増補版）：「基礎的な概念に十分に満足のいく数学的定義を与え, 現在も発展している数学の一分野である」^[6]

数学辞典での解説

• 『岩波　数学入門辞典』：数理論理学や超数学（metamathematics^[5]、メタ数学）とほぼ同義であり、「論理を扱う数学の一分野」^{[7][注 2]}。
• 『岩波　数学辞典』：「数学基礎論 … mathematical logic and foundations of mathematics … 数学基礎論はこの〔数学的理論の〕形式化の構文論的側面と意味論的側面の双方からの視点を意識した研究の行われる分野である． … 近年はより適切に数理論理学と呼ばれることも多くなった」^{[9][注 3]}．

百科事典での解説

• 『Encyclopedia Britannica（ブリタニカ百科事典）』：「要約 … 数学基礎論とは、数学理論の本質および数学手法の範囲に対する科学的探究。数学基礎論は、論理的および哲学的な数学基礎に対する探究としてのユークリッド『原論』と共に始まった──突き詰めると、（ユークリッド幾何学であれ微積分学であれ）あらゆる体系の公理がその完全性と一貫性を保証できるかどうかである」^{[11][注 4]}。

歴史

かつてはヒルベルトとベルナイスの『数学の基礎』に基づき、ヒルベルト・プログラムによって数学の諸体系の無矛盾性証明を行う超数学 (metamathematics) としての証明論を指す言葉であった^{[12][注 5]}。

脚注

注釈

1. ^ 以下、新井敏康の『数学基礎論 Mathematical Logic』（増補版 2021年）からの引用^[3]。

   数学基礎論 (Mathematical Logic, 数理論理学, 通称「基礎論」)

   以下、菊池誠の『不完全性定理 The Incompleteness Theorems』（2014年）からの引用^[4]。

   「不安の時代」が通り過ぎた後, 数学基礎論は哲学と袂を分かち, 独自の数学的な問題意識や価値観を見出した. 数学基礎論の専門家は「哲学的な動機のもとで数学基礎論を語る時代は終わった」と考えるようになり, 哲学を連想させる「数学基礎論」という名称よりも, 「数理論理学」や「論理学」, ただし「数学」や「哲学」と対峙する「論理学」ではなく, 「代数学」や「幾何学」と並ぶ「論理学」という名称を好むようになった. 数字基礎論は普通の数学に生まれ変わった.

2. ^ 以下、『岩波　数学入門辞典』（2005年）からの引用^[1][8]。

   数学基礎論
   　foundations of mathematics
   　数理論理学や超数学とほぼ同じ意味で，論理を扱う数学の一分野である． … ゲーデルの不完全性定理は有限の立場（形式主義）で数学の無矛盾性を証明することはできないことを示した．ゲンツェン（Gentzen）は，有限の立場より緩い制限のもとで自然数論の無矛盾性を証明した．
   　数学基礎論は計算機科学〔コンピュータ科学〕とも密接に結びついている．

   数理論理学
   　mathematical logic
   　数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野をいう．数学基礎論とほぼ同義である．

3. ^ 以下、『岩波　数学辞典』（2011年）からの引用^[9]。

   数学基礎論
   　［英］mathematical logic and foundations of mathematics
   …
   　数学の基礎づけの問題と数学基礎論の発生
   …
   　集合概念の有効な方法が，逆理に導く用法とすこぶる類似していること，その逆理がほとんど形式論理の範囲内で現れることは，数学における概念構成法，論法についての数学的な反省を促し，ここに数学の基礎づけの問題が発生した．^[2]
   …
   数学の基礎づけの問題自体はK. ゲーデルの不完全性定理により一応の結着を見ることになるが，それまでの過程で，数学的理論の形式化によって生じる形式体系の構文論や意味論の概念が意識されるようになり，そこに数学的問題が存在することが明らかになった．数学基礎論はこの形式化の構文論的側面と意味論的側面の双方からの視点を意識した研究の行われる分野である．数学基礎論という名称は上記に挙げた歴史的事情に基づくものであり，近年はより適切に数理論理学と呼ばれることも多くなった．^[5]
   …
   　計算機科学〔コンピュータ科学〕と数学基礎論はチューリング機械をはじめとする様々な計算モデル，計算可能関数の理論の精密化・計量化である計算量理論，自動証明における導出原理，型理論と Curry-Howard の同型対応などいくつもの分野で密接な繋がりを持っている（→34 エルブランの定理と導出原理，64 型理論とλ計算）．^[10]

4. ^ 以下、『ブリタニカ百科事典』からの原文引用：

   Summary
   ...
   foundations of mathematics, Scientific inquiry into the nature of mathematical theories and the scope of mathematical methods. It began with Euclid’s Elements as an inquiry into the logical and philosophical basis of mathematics—in essence, whether the axioms of any system (be it Euclidean geometry or calculus) can ensure its completeness and consistency.^[11]

5. ^ キューネン『数学基礎論講義』の内容は集合論・モデル理論・証明論・再帰理論という数理論理学の四大分野である^{[要ページ番号]}。

出典

1. ^ ^{a b} 青本 et al. 2005, p. 294.
2. ^ ^{a b} 日本数学会（編） 2011, p. 573.
3. ^ ^{a b} 新井 2021, p. iv.
4. ^ ^{a b} 菊池 2014, p. iii.
5. ^ ^{a b c} 日本数学会（編） 2011, p. 575.
6. ^ 新井 2021, p. ix.
7. ^ 青本 et al. 2005, pp. 294, 297.
8. ^ 青本 et al. 2005, p. 297.
9. ^ ^{a b} 日本数学会（編） 2011, pp. 573, 575.
10. ^ 日本数学会（編） 2011, p. 576.
11. ^ ^{a b} Lambek, Joachim. “foundations of mathematics” (英語). Britannica. Encyclopedia Britannica. Encyclopædia Britannica, Inc.. 2022年7月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年9月25日閲覧。
12. ^ 竹内外史・八杉満利子『数学基礎論』共立出版（1956年、初版）^{[要ページ番号]}

参考文献

• 新井, 敏康『数学基礎論 Mathematical Logic』（増補版第1刷）東京大学出版会、2021年4月9日。ISBN 978-4130629270。 
• 菊池, 誠『不完全性定理 The Incompleteness Theorems』（初版1刷）共立出版、2014年10月25日。ISBN 978-4320110960。 
• ケネス・キューネン『キューネン数学基礎論講義』日本評論社、2016年7月。ISBN 978-4-535-78748-3。 

数学辞典

• 青本和彦（編）; 上野健爾（編）; 加藤和也（編）; 神保道夫（編）; 砂田利一（編）; 高橋陽一郎（編）; 深谷賢治（編）; 俣野博（編） ほか『岩波　数学入門辞典』岩波書店、2005年9月29日。ISBN 978-4000802093。 
• 日本数学会（編）『岩波　数学辞典』（第4版第3刷）岩波書店、2011年10月25日。ISBN 978-4000803090。 

関連項目

• 数学
  • 数学基礎論/数理論理学/現代論理学/記号論理学
    • 公理的集合論 - 幾何学基礎論
• 計算機科学/コンピュータ科学/情報科学 - 理論計算機科学
• 計算理論/計算論
  • 停止性問題#不完全性定理との関係 - チューリング機械
  • 計算量理論/計算複雑性理論 - 計算可能性理論
• 論理学 - 数学の哲学

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表 話 編 歴 メタ論理学 メタ数学
カントールの定理 決定問題（英語版） チャーチ＝チューリングのテーゼ 無矛盾性 実効的方法（英語版） 数学基礎論 幾何学基礎論 ゲーデルの完全性定理 ゲーデルの不完全性定理 健全性 完全性 決定可能性 解釈（英語版） レーヴェンハイム–スコーレムの定理 メタ定理（英語版） 充足可能性 独立性 タイプとトークンの区別 使用と言及の区別

表 話 編 歴 論理学
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数学基礎論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/14 06:33 UTC 版)

「竹内外史」の記事における「数学基礎論」の解説

ゲーデルによって、1931年、算術以上の数学的内容をもった形式的体系がもし無矛盾ならば、その無矛盾性の証明はその体系の中で形式化されうるようなしかたによっては証明できない(不完全性定理)ことが示され、ヒルベルト・プログラムの遂行は至難なことがわかった。その後、有限の立場を発展させることによって、1936年ゲンツェンが算術(純粋数論)の無矛盾性を証明した。本質的に算術を超える内容をもつ実数論ないしは解析学となると、不可避的に集合概念を含むためその無矛盾性の証明は極度に困難である。竹内は、1953年にLKを拡張して高階の述語論理をゲンツェン・タイプで形式化(GLCと呼ばれる)し、GLCに対してもゲンツェンの基本定理と同様な定理が成り立つという予想(竹内の基本予想（英語版）と呼ばれる)を立て、基本予想が有限的構成的しかたで証明できれば、解析学の無矛盾性は一挙に解決されることを示した。 その後、基本予想の部分的解決を重ねるとともに、その補助手段として構成的順序数の一種であるordinal diagramなる概念を導入、その理論の発展と整備補強に努め、広範な内容をもつ解析学の部分体系の無矛盾性を証明した。

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「数学基礎論」の例文・使い方・用例・文例

• 数学基礎論という数学理論
• 直観主義という,数学基礎論における立場