定義の同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/17 09:58 UTC 版)
順序集合論的な束は二つの二項演算 ∨, ∧ を生じ、その可換性、結合性、吸収性から (L, ∨, ∧) が代数的な意味での束を定めることを確かめることは難しくない。このとき、もとの順序関係は、こうしてえられた代数的構造からすぐに回復することができる。すなわち a ≤ b ⟺ a = a ∧ b {\displaystyle a\leq b\iff a=a\land b} と定めて得られた順序 ≤ は、もとの束の順序関係に一致する。 逆に、代数的に定義された束 (L, ∨, ∧) に対し、L 上の半順序 ≤ を、L の各元 a, b に対して a ≤ b ⟺ a = a ∧ b {\displaystyle a\leq b\iff a=a\land b} または a ≤ b ⟺ b = a ∨ b {\displaystyle a\leq b\iff b=a\lor b} で定めれば順序集合論的な意味の束が得られる。吸収律はいずれの定義に関しても同値である。そうして、この方法で定めた順序関係 ≤ が導く結びと交わりがもともとの代数的な意味での束の演算 ∨, ∧ に一致することも確かめられる。 このように束の二つの定義は同値であるから、必要と目的に応じて束の二つの側面を自由に選んで使うことができる。
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定義の同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/03/13 01:27 UTC 版)
エルミート多様体 K {\displaystyle K} は、自然なエルミート形式 h {\displaystyle h} と可積分な概複素構造 J {\displaystyle J} を兼ね備えた複素多様体である。 h {\displaystyle h} が閉であることを仮定すると、標準的シンプレクティック形式を ω = i 2 ( h − h ¯ ) {\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}(h-{\bar {h}})} と定義でき J {\displaystyle J} と整合性を持っているので、第一の定義を満たす。 一方、概複素構造と整合性をもつ任意のシンプレクティック形式は、 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} タイプの複素微分形式であるはずであり、座標 ( U , z i ) {\displaystyle (U,z_{i})} を使い書き表すと、 h j k ∈ C ∞ ( U , C ) {\displaystyle h_{jk}\in C^{\infty }(U,\mathbb {C} )} に対し、 ω = i 2 ∑ j , k h j k d z j ∧ d z k ¯ {\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\sum _{j,k}h_{jk}dz_{j}\wedge d{\bar {z_{k}}}} となる。 ω {\displaystyle \omega } が実数に値を持つ閉じた非退化であることを加えると、 h j k {\displaystyle h_{jk}} が K {\displaystyle K} の各々の点でエルミート形式を定義することが保証される。
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