二つの定義の同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 17:31 UTC 版)
「局所凸位相ベクトル空間」の記事における「二つの定義の同値性」の解説
近傍基に関する定義はより良い幾何的な表現を与えるものであるが、半ノルムに関する定義は実際に扱う上でより簡単なものとなる。それら二つの定義の同値性は、ミンコフスキー汎函数あるいはミンコフスキーゲージとして知られる構成法によって従う。ε-球の凸性を保証する半ノルムのキーとなる性質は、三角不等式である。 C 内の x に対し、0 ≤ t ≤ 1 ならば tx も C 内にあるような併呑集合 C を考える。C のミンコフスキー汎函数を次で定義する。 μ C ( x ) = inf { λ > 0 : x ∈ λ C } . {\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda C\}.} この定義より、C が均衡かつ凸（また仮定より併呑）であるなら、μC は半ノルムとなる。逆に、半ノルムの族が与えられたとき、集合 { x : p α 1 ( x ) < ε , … , p α n ( x ) < ε } {\displaystyle \{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon ,\dotsc ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon \}} は凸併呑均衡集合の基を形成する。
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二つの定義の同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
Kn の標準基底を (e1, …, en) とする。正方行列 X を表す列ベクトルを v1, …, vn とすると、vj = Xej である。 ( ⋀ n X ) ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) = v 1 ∧ ⋯ ∧ v n {\displaystyle ({\textstyle \bigwedge ^{n}}X)(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}} であるが、ここで v 1 ∧ ⋯ ∧ v n = ( ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) v σ ( 1 ) 1 v σ ( 2 ) 2 ⋯ v σ ( n ) n ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}=\left(\textstyle \sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )v_{\sigma (1)}^{1}v_{\sigma (2)}^{2}\cdots v_{\sigma (n)}^{n}\right)e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}} である。ただし、vi の第 i 成分を v ji と表した）。これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。 n-次外積の普遍性により、行列式とは、行列の各列のベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列には 1 を与えるものとして特徴づけられることが分かる。
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