凸関数
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/11 17:22 UTC 版)
（とつかんすう、英: convex function）とは、ある区間で定義された実数値関数 f で、区間内の任意の 2 点 x , y と開区間 (0, 1) 内の任意の t に対して
経済学においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを原点に対して凸[10]、または原点に向かって凸[11]と呼ぶことがある。
脚注
- ^ 英: downward-convex function
- ^ Rockafellar & Wets 1998, Proposition 2.4 (convexity of epigraph).
- ^ Rockafellar & Wets 1998, Definition 2.1 (convex sets and convex functions).
- ^ 英: concave function
- ^ Rockafellar 1977, Theorem 25.3.
- ^ アルティン 2002, p. 9.
- ^ Rockafellar & Wets 1998, Theorem 2.6 (characteristics of convex optimization).
- ^ アルティン 2002, p. 12.
- ^ Hörmander 2007, p. 2.
- ^ 芦谷 (2009)、p. 51。
- ^ 神部、寶多、濱田 (2006)、p. 99。
参考文献
- E. アルティン『ガンマ関数入門』日本評論社、2002年。ISBN 4-535-60846-6。
- 芦谷政浩『ミクロ経済学』有斐閣、2009年。 ISBN 978-4-641-16350-8。
- 神戸伸輔; 寶多康弘; 濱田弘潤『ミクロ経済学をつかむ』有斐閣、2006年。 ISBN 4-641-17700-7。
- Hörmander, L. (2007) [1994]. Notions of Convexity. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4584-7. MR 2311920. Zbl 1108.32001
- Rockafellar, R. Tyrrell (1977). Convex analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4. MR 1451876. Zbl 0932.90001
- Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (1998). Variational analysis. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317. Springer-Verlag. ISBN 3-540-62772-3. MR 1491362. Zbl 0888.49001
関連項目
凸性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/05 08:08 UTC 版)
「ブラウワーの不動点定理」の記事における「凸性」の解説
凸性は、ブラウワーの不動点定理において、厳密な意味で要求されるものではないことに注意されたい。（不動点であるための連続性といった）求められる性質は同相写像の下で不変であるため、ブラウワーの不動点定理は、定義域が閉単位球 D n であるように要求される場合と同値な形式を持つ。同じ理由で、閉球（したがって閉、有界、連結で穴のないものなど）と位相同型であるようなすべての集合に対して定理は成り立つ。 穴を持つ定義域においてブラウワーの不動点定理が成立しない例を次に示す。極座標において定義される次の函数を考える： f ( r , θ ) = ( r , θ + π / 4 ) {\displaystyle f(r,\theta )=(r,\theta +\pi /4)} この函数は単位円周からそれ自身への連続函数である。この函数は、単位円周上のすべての点を反時計回りに45度回転させるものであるため、不動点を持つことはない。単位円周は閉かつ有界であるが、穴を持つ（したがって凸でない）ことに注意されたい。もしこの函数を（凸である）単位円板上で定義すれば、その原点が不動点となる。 穴を持たない定義域に対するブラウワーの不動点定理の正式な一般化は、レフシェッツの不動点定理に見られる。
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