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数学 においてフェンシェルの双対性定理 (フェンシェルのそうついせいていり、英 : Fenchel's duality theorem )は、ウェルナー・フェンシェル(英語版 ) の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。
ƒ を R n 上の真凸函数 とし、g を R n を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、
min
x
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
max
p
(
g
⋆
(
p
)
−
f
⋆
(
p
)
)
{\displaystyle \min _{x}(f(x)-g(x))=\max _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p))\,}
が成り立つ。ここで ƒ * は ƒ の凸共役 (フェンシェル=ルジャンドル変換とも呼ばれる)であり、g * は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。
f
⋆
(
x
∗
)
:=
sup
{
⟨
x
∗
,
x
⟩
−
f
(
x
)
|
x
∈
R
n
}
{\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}
g
⋆
(
x
∗
)
:=
inf
{
⟨
x
∗
,
x
⟩
−
g
(
x
)
|
x
∈
R
n
}
{\displaystyle g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}
数学的定理
X と Y をバナッハ空間 とし、
f
:
X
→
R
∪
{
+
∞
}
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
と
g
:
Y
→
R
∪
{
+
∞
}
{\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
を凸函数とし、
A
:
X
→
Y
{\displaystyle A:X\to Y}
を有界 線型作用素 とする。このとき、フェンシェルの問題とは
p
∗
=
inf
x
∈
X
{
f
(
x
)
+
g
(
A
x
)
}
{\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}
d
∗
=
sup
y
∗
∈
Y
∗
{
−
f
∗
(
A
∗
y
∗
)
−
g
∗
(
−
y
∗
)
}
{\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}
が弱双対性 を満たす、すなわち
p
∗
≥
d
∗
{\displaystyle p^{*}\geq d^{*}}
が成立することを言う。ここで
f
∗
,
g
∗
{\displaystyle f^{*},g^{*}}
はそれぞれ f ,g の凸共役であり、
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
は共役作用素 であることに注意されたい。この双対問題 に対する摂動函数 は
F
(
x
,
y
)
=
f
(
x
)
+
g
(
A
x
−
y
)
{\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)}
で与えられる。
f ,g および A は次のいずれかを満たす。
f と g は下半連続 で、
0
∈
core
(
dom
g
−
A
dom
f
)
{\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)}
。ここで
core
{\displaystyle \operatorname {core} }
は代数的内部 であり、
dom
h
{\displaystyle \operatorname {dom} h}
はある函数 h に対する集合
{
z
:
h
(
z
)
<
+
∞
}
{\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}}
である。
A
dom
f
∩
cont
g
≠
∅
{\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset }
。ここで
cont
{\displaystyle \operatorname {cont} }
は函数が連続 であるような点である。
このとき強双対性 が成立する。すなわち
p
∗
=
d
∗
{\displaystyle p^{*}=d^{*}}
となる。
d
∗
∈
R
{\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} }
であるなら、順序集合 が達成される[1] 。
出典
^ Borwein, Jonathan; Zhu, Qiji (2005). Techniques of Variational Analysis . Springer. pp. 135–137. ISBN 978-1-4419-2026-3
参考文献
関連項目