フェンシェル双対性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 09:02 UTC 版)
詳細は「フェンシェルの双対性定理」を参照 ( X , X ∗ ) {\displaystyle (X,X^{*})} と ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle (Y,Y^{*})} を双対組とする。ある線型作用素 T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} とその随伴作用素 T ∗ : Y ∗ → X ∗ {\displaystyle T^{*}:Y^{*}\to X^{*}} の存在を仮定する。また主目的函数（英語版）（指示函数による制限も含む）は、 J : X × Y → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} に対して f ( x ) = J ( x , T x ) {\displaystyle f(x)=J(x,Tx)} と表すことが出来るものとする。このとき、摂動函数は次で与えられる。 F ( x , y ) = J ( x , T x − y ) {\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y)} . 特に、主目的函数が f ( x ) + g ( T x ) {\displaystyle f(x)+g(Tx)} であるなら、摂動函数は F ( x , y ) = f ( x ) + g ( T x − y ) {\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)} で与えられるが、これはフェンシェル双対性の伝統的な定義である。
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