局所凸性を持たない空間の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 17:31 UTC 版)
「局所凸位相ベクトル空間」の記事における「局所凸性を持たない空間の例」の解説
位相ベクトル空間の多くは局所凸である。局所凸性を持たない空間の例には、以下のようなものがある： 0 < p < 1 に対する空間 Lp([0, 1]) で、次のF-ノルムを備えるもの。 ‖ f ‖ p = ∫ 0 1 | f ( x ) | p d x {\displaystyle \|f\|_{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx} このような空間は、ゼロの唯一つの凸近傍が全空間となるため、局所凸ではない。より一般に、アトムレス（atomless）な有限測度 μ を備える、0 < p < 1 に対する空間 Lp(μ) は局所凸ではない。 単位区間 [0, 1] 上の可測函数の空間（ほとんど至る所で等しい函数は同一視する）は、平行移動不変な距離によって定義されるベクトル空間位相を持つ。すなわち d ( f , g ) = ∫ 0 1 | f ( x ) − g ( x ) | 1 + | f ( x ) − g ( x ) | d x {\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx} （この距離は可測函数の測度収束を導く。確率変数に対して、測度収束は確率収束である）。この空間はしばしば L0 と記述される。 上の例はいずれも、実数への任意の連続線型写像は 0 であるという性質を持つ。特にそれらの双対空間は自明、すなわち、ゼロ汎函数のみを含む。 0 < p < 1 に対する数列空間 ℓp は局所凸ではない。
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