局所体上の指標群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:23 UTC 版)
1次元トーラス { x ∈ C | | x | ∞ = 1 } {\displaystyle \scriptstyle \{x\in \mathbb {C} |\ |x|_{\infty }=1\}} を T とし、加法群 R / Z {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } から乗法群 T への連続な同型写像を e : R → T z ↦ exp ( 2 π − 1 z ) {\displaystyle {\begin{array}{rccc}e:&\mathbb {R} &\to &T\\&z&\mapsto &\exp(2\pi {\sqrt {-1}}z)\end{array}}} で定める。 K を局所体とすると、K は加法に対する局所コンパクトな位相群と見なせるので、K から T への連続な準同型写像、つまり K の連続な指標が存在する。連続な指標全体からなる群つまり指標群を K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} とおく。 局所体 K に対して、K の正規指標 χ K {\displaystyle \chi _{K}} を以下の様に定める。 (1) K が p進体のとき p進体 の 0 ではない元 x に対して、 x = ∑ i = r ∞ c i p i ( c i = 0 , 1 , … , p − 1 , r ≤ − 1 ) {\displaystyle x=\sum _{i=r}^{\infty }c_{i}p^{i}\ \ \ \ (c_{i}=0,1,\ldots ,p-1,\ r\leq -1)} と p 進展開したとき χ K ( x ) = e ( c r p r + ⋯ + c − 1 p − 1 ) {\displaystyle \chi _{K}(x)=e(c_{r}p^{r}+\cdots +c_{-1}p^{-1})} と定めると、p 進体上の連続な指標となる。 (2) K が p進体の有限次拡大体であるとき (1) で得られた χ Q p ( x ) {\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} _{p}}(x)} と、 K / Q p {\displaystyle \scriptstyle K/\mathbb {Q} _{p}} に対するトレースを用いて χ K ( x ) = χ Q p ( Tr K / Q p ( x ) ) {\displaystyle \chi _{K}(x)=\chi _{\mathbb {Q} _{p}}(\operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} _{p}}(x))} で定義すると、K 上の連続な指標となる。 (3) K が有限体係数の1変数ベキ級数体 F ( ( t ) ) {\displaystyle F((t))} であるとき F の標数を p とし、K 上の点 x を x = ∑ i = r ∞ c i t i ( c i ∈ F , r < 0 ) {\displaystyle x=\sum _{i=r}^{\infty }c_{i}t^{i}\ \ \ \ (c_{i}\in F,\ r<0)} と表したとき、K 上の正規指標 χ K {\displaystyle \chi _{K}} を χ K ( x ) = e ( − Tr F / F p ( c − 1 ∗ ) ) {\displaystyle \chi _{K}(x)=e(-\operatorname {Tr} _{F/\mathbb {F} _{p}}(c_{-1}^{*}))} で定める。ここで、 c − 1 ∗ ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } {\displaystyle \scriptstyle c_{-1}^{*}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}} を c − 1 ≡ c − 1 ∗ {\displaystyle \scriptstyle c_{-1}\equiv c_{-1}^{*}} を満たす様にとる。 K がいずれの場合に対しても、K の任意の元 a を１つ取り固定したとき、 φ a : K → T x ↦ χ K ( x a ) {\displaystyle {\begin{array}{rccc}\varphi _{a}:&K&\to &T\\&x&\mapsto &\chi _{K}(xa)\end{array}}} は、K の連続な指標となる。このことから K の元 a に対して、指標群 K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} の元として φ a {\displaystyle \varphi _{a}} を対応させることにより、K と K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} は同一視される。 上で述べた K と K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} が同一視できることは、K が実数体もしくは複素数体でも成立する。 実数体の場合は、任意の実数 a に対して、 φ a ( x ) = e ( x a ) {\displaystyle \scriptstyle \varphi _{a}(x)=e(xa)} とすれば、実数体と R ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}} は同一視され、複素数体の場合は、任意の複素数 a に対して、 φ a ( x ) = e ( x a + x a ¯ ) {\displaystyle \scriptstyle \varphi _{a}(x)=e(xa+{\bar {xa}})} とすれば、複素数体と C ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} は同一視される。
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