局所凸代数とは? わかりやすく解説

局所凸代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/06/20 05:46 UTC 版)

位相線型環」の記事における「局所凸代数」の解説

位相線型環局所線型環であるとは、その位相局所凸であるときに言う。LMC代数は定義により局所線型環となるが、一般局所線型環ではその位相が必ずしも劣乗法的半ノルム族で生成されなくともよい。 例として、複素係数有理函数体 C(t)(複素係数多項式環 C[t] の商体)を考えよう自然数 n ≥ 1 に対して函数 wn: Z → R+ を w n ( k ) = { ( 1 − k ) n ( 1 − k ) ( k ≤ − 1 ) 1 ( k = 0 ) ( 1 + k ) − ( k + 1 ) / n ( k ≥ 1 ) {\displaystyle w_{n}(k)={\begin{cases}(1-k)^{n(1-k)}&(k\leq -1)\\1&(k=0)\\(1+k)^{-(k+1)/n}&(k\geq 1)\end{cases}}} と定める。各元 f ∈ C(t) は複素変数函数解釈することができて、ローラン展開 f(t) = ∑∞−∞ ak tk を持つことに注意する。いま C(t) 上の半ノルム pnp n ( f ) := ∑ k = − ∞ ∞ | a k | w n ( k ) , if  f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k t k {\displaystyle p_{n}(f):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|a_{k}|w_{n}(k),\quad {\text{if }}f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}t^{k}} で定めれば、半ノルム列 (pn)n を備えた C(t) は局所線型環を成すことが示せるが、これはLMC代数にはならない

※この「局所凸代数」の解説は、「位相線型環」の解説の一部です。
「局所凸代数」を含む「位相線型環」の記事については、「位相線型環」の概要を参照ください。

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