局所体の直積分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:23 UTC 版)
局所体 K に対して、乗法群 K× は以下の様に分解される。 K × ≃ ⟨ π ⟩ × U ≃ ⟨ π ⟩ × μ q − 1 × U ( 1 ) ≃ Z ⊕ Z / ( q − 1 ) Z ⊕ U ( 1 ) {\displaystyle K^{\times }\simeq \langle \pi \rangle \times U\simeq \langle \pi \rangle \times \mu _{q-1}\times U^{(1)}\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\mathbb {Z} \oplus U^{(1)}} ここで、⟨π⟩ は素元 π によって生成される巡回群、q = pf は K の剰余体の元の個数、μq − 1 は 1 の q − 1 乗根全体のなす群、U は単数群、U(1) は主単数群である。 さらに単数群 U は、以下の様に分解される。 (1) K の標数が 0 であるとき U ≃ μ ( K ) × Z p d ≃ ( Z / m Z ) ⊕ Z p d {\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{d}\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}} 但し、μ(K) は K に含まれる 1 のベキ根全体のなす群であり、その位数を m とする。 (2) K の標数が 0 でないとき U ≃ μ ( K ) × Z p N ≃ ( Z / m Z ) ⊕ Z p N {\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }} である。 また、主単数群 U(1) は、以下の様に分解される。 (1) K の標数が 0 であるとき U ( 1 ) ≃ μ p a Z ⊕ Z p d {\displaystyle U^{(1)}\simeq \mu _{p^{a}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}} 但し、pa は K に含まれる 1 の p ベキ乗根全体のなす群の位数であり、d = [K : Qp] である。 (2) K の標数が 0 でないとき U ( 1 ) ≃ Z p N {\displaystyle U^{(1)}\simeq \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }} である。 続いて、実数体もしくは複素数体の場合を考察すると (1) 実数体の場合 単数群 U は {±1} であり R × ≃ { ± 1 } × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\simeq \{\pm 1\}\times \mathbb {R} } である。 (2) 複素数体の場合 単数群 U は R/Z と同型であり C × ≃ R × R / Z {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\simeq \mathbb {R} \times \mathbb {R} /\mathbb {Z} } である。
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