随伴の全容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
以上のことから、随伴にはたくさんの関手や自然変換を持っているが、その一部を決めるだけで他のものは決定される。 圏CとDの間の随伴は以下のものから構成される。 左随伴と呼ばれる関手F : C ← D 右随伴と呼ばれる関手G : C → D 自然同型Φ : homC(F–,–) → homD(–,G–) 余単位と呼ばれる自然変換 ε : FG → 1C 単位と呼ばれる自然変換 η : 1D → GF 等価な定式化として、XをCの任意の対象としYをDの任意の対象としたとき、 全てのCの射 f : F Y → X {\displaystyle f:FY\to X} に対して、Dの射 Φ Y , X ( f ) = g : Y → G X {\displaystyle \Phi _{Y,X}(f)=g:Y\to GX} で、以下の図式を可換にするものが唯一つ存在し、全てのDの射 g : Y → G X {\displaystyle g:Y\to GX} に対して、Cの射 Φ Y , X − 1 ( g ) = f : F Y → X {\displaystyle \Phi _{Y,X}^{-1}(g)=f:FY\to X} で、以下の図式を可換にするものが唯一つ存在する このことを使うと、以下に挙げる復元が可能である 変換ε、η、Φは以下の等式で関連付けられる。 f = Φ Y , X − 1 ( g ) = ε X ∘ F ( g ) ∈ h o m C ( F ( Y ) , X ) g = Φ Y , X ( f ) = G ( f ) ∘ η Y ∈ h o m D ( Y , G ( X ) ) Φ G X , X − 1 ( 1 G X ) = ε X ∈ h o m C ( F G ( X ) , X ) Φ Y , F Y ( 1 F Y ) = η Y ∈ h o m D ( Y , G F ( Y ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}} 変換ε、ηは余単位-単位恒等式を満たす 1 F = ε F ∘ F η 1 G = G ε ∘ η G {\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}} Cにおいて、各対 ( G X , ε X ) {\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})} はFからXへの普遍射である Dにおいて、各対 ( F Y , η Y ) {\displaystyle (FY,\eta _{Y})} はYからGへの普遍射である とくに、上記の等式によりΦ、ε、ηはこれらのうち1つを使って定めることができる。しかし、随伴関手FとGだけでは随伴を定めるには一般には十分ではない。以下では定義の同値性を解説する。
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