選択公理との関係

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選択公理との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/04 13:24 UTC 版)

「ハーン-バナッハの定理」の記事における「選択公理との関係」の解説

上述のように、選択公理からハーン-バナッハの定理は従うが、その逆は真ではない。このことを示す一つの方法としては、選択公理よりも真に弱いウルトラフィルターの補題（英語版）からハーン・バナッハの定理を証明することができるが、この場合その逆は成り立たないということに着目すればよい。ハーン-バナッハの定理は、実は、ウルトラフィルターの補題よりもさらに弱い仮定を用いて証明することも出来る。 可分なバナッハ空間に対して、ブラウンとシンプソンは、 ケーニヒの補題を公理の一つとする二階算術（英語版）の弱部分システム WKL0 にからハーン-バナッハの定理がしたがう、ということを証明した。

選択公理との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/30 00:36 UTC 版)

「ハーン–バナッハの定理」の記事における「選択公理との関係」の解説

上述のように、選択公理からハーン–バナッハの定理は従うが、その逆は真ではない。このことを示す一つの方法としては、選択公理よりも真に弱いウルトラフィルターの補題（英語版）からハーン・バナッハの定理を証明することができるが、この場合その逆は成り立たないということに着目すればよい。ハーン–バナッハの定理は、実は、ウルトラフィルターの補題よりもさらに弱い仮定を用いて証明することも出来る。 更に、ブラウンとシンプソンは、弱ケーニヒの補題を公理の一つとする二階算術（英語版）の部分体系WKL0 から可分なバナッハ空間上の有界線型汎関数に対するハーン-バナッハの定理がしたがう、ということを証明した。

選択公理との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/25 06:47 UTC 版)

「クレイン＝ミルマンの定理」の記事における「選択公理との関係」の解説

ツェルメロ＝フレンケルの集合論（英語版）においてこの定理を証明する上では、選択公理や、その弱いヴァージョンが必要とされる。逆にこの定理とブール素イデアル定理（英語版）によって、選択公理を証明することが出来る。

選択公理との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/06 09:09 UTC 版)

「デデキント無限」の記事における「選択公理との関係」の解説

整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACよりもっと弱いものである。すなわちこの同値性を仮定してもACは導かれない。 とくに可算無限な部分集合を持たない無限集合の存在するようなZFのモデルが存在する。このモデルでは無限だがデデキント有限である集合が存在する。以上よりそのような集合はこのモデルにおいて整列不可能である。 可算選択公理CC（ACω）を仮定すればいかなる無限集合もデデキント無限であることが証明される。しかしながら、この同値性は、実際にはCCより真に弱い。（ZFの無矛盾性の仮定のもとで）CCは成立しないが2つの無限集合の定義の同値性が成り立つZFのモデルが存在する。すなわちこの同値性を仮定してもCCは導かれない。

選択公理との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 17:13 UTC 版)

「ベールの範疇定理」の記事における「選択公理との関係」の解説

二つの主張 BCT1 と BCT2 を任意の完備距離空間に対して証明するには、適当な形の選択公理を用いる必要がある。実は BCT1 は ZF のもとで従属選択公理と呼ばれる弱い形の選択公理と同値である。 完備距離空間がさらに可分であることを仮定する制限された形のベールの範疇定理であれば、何らの選択公理を付け加えることなく ZF において証明することができる。この弱い形の範疇定理は特に実数直線、ベール空間 ω ω 、およびカントール空間 2 ω に適用できる。