選択公理との同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/31 17:32 UTC 版)
「テューキーの補題」の記事における「選択公理との同値性」の解説
テューキーの補題から選択公理を導くことができる。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を空でない集合の集合族とし、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} を F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の部分集合上の選択関数になっているような関数全体の集合とする。選択関数の部分集合はまた選択関数であることなどから、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} はFinite characterを満たす。よってテューキーの補題より B {\displaystyle {\mathcal {B}}} には包含関係による極大元が存在する。極大性より、その定義域が F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 全体になっていることがわかる。 逆に選択公理からテューキーの補題を導くには、ツォルンの補題を経由する。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を空でない集合族でFinite characterを満たすとする。 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} を F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の包含関係に関する任意の鎖とすると、Finite characterより A = ∪ { X : X ∈ B } {\displaystyle A=\cup \{X:X\in {\mathcal {B}}\}} の任意の有限部分集合は F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に含まれるから、 A {\displaystyle A} も F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に含まれる。 A {\displaystyle A} は鎖 B {\displaystyle B} の上界となっているから、ツォルンの補題より F {\displaystyle {\mathcal {F}}} には極大元が存在する。
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