選択公理の役割
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:12 UTC 版)
任意無限順序数の濃度はアレフ数である。すべてのアレフはある順序数の濃度である。これらの最小元はその始数である。濃度があるアレフである任意の集合はある順序数と等濃であり、したがって整列可能 (well-orderable) である。 各有限集合は整列可能であるが、その濃度としてアレフをもたない。 各無限集合の濃度はあるアレフ数であるという仮定は ZF 上すべての集合の整列の存在と同値であり、これは選択公理と同値である。ZFC 集合論は、選択公理を含み、すべての無限集合はその濃度としてあるアレフ数をもつ（すなわちその指数と等濃である）ことを意味し、したがってアレフ数の始数はありとあらゆる無限濃度の代表類として仕える。 選択公理のない ZF において濃度が研究されるとき、各無限集合がその濃度としてあるアレフ数をもつことを証明することはもはや可能ではない。濃度がアレフ数であるような集合はちょうど整列できる無限集合である。スコットのトリック（英語版）の手法はときどき ZF の設定において濃度の代表を構成する代替的な方法として使われる。
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