選択公理の適用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/28 23:05 UTC 版)
「ハウスドルフのパラドックス」の記事における「選択公理の適用」の解説
1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道を P x {\displaystyle P_{x}} とすると、 P x = P y {\displaystyle P_{x}=P_{y}} か、 P x ∩ P y = ∅ {\displaystyle P_{x}\cap P_{y}=\emptyset } のいずれか1つが成り立つ。そして G = ⋃ x ∈ M P x {\displaystyle G=\bigcup _{x\in M}P_{x}} である． 選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。 このとき A ′ = { g x | g ∈ A , x ∈ M } B ′ = { g x | g ∈ B , x ∈ M } C ′ = { g x | g ∈ C , x ∈ M } {\displaystyle {\begin{array}{lcc}A'&=&\{gx\,|\,g\in A,\,x\in M\}\\B'&=&\{gx\,|\,g\in B,\,x\in M\}\\C'&=&\{gx\,|\,g\in C,\,x\in M\}\end{array}}} A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} をA, B, Cと書き直すと P = A ∪ B ∪ C {\displaystyle P=A\cup B\cup C} であり、 φ A = B ∪ C , ψ A = B , ψ 2 A = C {\displaystyle \varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi ^{2}A=C} であるから、 A , B , C , B ∪ C {\displaystyle A,B,C,B\cup C} は合同となる。よって定理は証明された。
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