選択公理を用いない場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 05:40 UTC 版)
「非可算集合」の記事における「選択公理を用いない場合」の解説
選択公理を仮定しない場合、 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} と比較できない濃度が存在しうる、具体的にはデデキント有限な無限集合の濃度がそうである。これらの濃度をもつ集合は上記の非可算性の最初の3つの特徴づけを満たすが、4番目は満たさない。これらの集合は濃度の意味で自然数の集合より大きいわけではないので、それを非可算とは呼ぶことを避ける人もいる。 選択公理を仮定する場合、基数 κ {\displaystyle \kappa \!} に関する以下の条件は全て同値である： κ ≰ ℵ 0 {\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0}} κ > ℵ 0 {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}} κ ≥ ℵ 1 {\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}} 、ただし ℵ 1 = | ω 1 | {\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|} であり ω 1 {\displaystyle \omega _{1}\,} は ω {\displaystyle \omega \!} よりも大きい最小の始数である しかしながら、選択公理を仮定しない場合これらはすべて異なる条件となりうる。そのため、このときどれが最も適切な "非可算性" の一般化であるかは明らかでない。この場合は非可算という言葉を使うことを避け、これらのうちのどれを意味しているのかを明確にすることが最善であろう。
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