可算選択公理

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可算選択公理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/09 08:39 UTC 版)

可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。AC_ωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。

定義

空でない集合からなる任意の可算集合族Fに対し、ある（Fを定義域に持つ）関数 f が存在して、任意のS∈Fに対し f(S)∈Sが成り立つ。

このような関数をFの選択関数と呼ぶ。

応用

ZF に AC_ωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる^[1]。

実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い^[1]。例えばすべての集積点${\displaystyle x}$ カテゴリ