アレフ・ノート

ウィキペディア小見出し辞書

アレフ・ノート

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:12 UTC 版)

「アレフ数」の記事における「アレフ・ノート」の解説

ℵ0 はすべての自然数からなる集合の濃度であり、無限基数である。すべての有限順序数からなる集合は、ω あるいは ω0 と呼ばれ、濃度 ℵ0 をもつ。集合の濃度が ℵ0 であることは、可算無限である—すなわち自然数全体の成す集合との間に全単射（一対一対応）がある—ことと同値である。そのような集合の例は すべての平方数からなる集合，すべての立方数からなる集合，すべての四乗数からなる集合，……， すべての累乗数からなる集合，すべての素数の冪からなる集合， すべての偶数からなる集合，すべての奇数からなる集合， すべての素数からなる集合，すべての合成数からなる集合， すべての整数からなる集合， すべての有理数からなる集合， すべての代数的数からなる集合， すべての計算可能数（英語版）からなる集合， すべての定義可能数（英語版）からなる集合， すべての有限長の二進文字列からなる集合， 任意に与えられた可算無限集合のすべての有限部分集合からなる集合。 無限順序数 ω, ω + 1, ω⋅2, ω2, ωω および ε0（イプシロン数（英語版） も参照）は可算無限集合からとれる。例えば、すべての正の奇数のあとにすべての正の偶数を並べた（順序数 ω⋅2 をもつ）列 {1, 3, 5, 7, 9, …, 2, 4, 6, 8, 10, …} は正の整数全体の（濃度 ℵ0 の）集合の整列である。 可算選択公理を仮定すれば、ℵ0 は他のどんな無限基数よりも小さい。