アレフ数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:47 UTC 版)
選択公理を仮定すると、無限濃度は全順序であり、任意の2つの濃度は常に比較可能である。したがって、定義により、 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} と ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} の間に無限濃度は存在せず、 ℶ 1 ≥ ℵ 1 {\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}} であることが従う。この議論を繰り返すことによって（超限帰納法参照）すべての順序数 α {\displaystyle \alpha } に対して ℶ α ≥ ℵ α {\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }} である。 連続体仮説は次と同値である。 ℶ 1 = ℵ 1 . {\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.} 一般連続体仮説が言っているのはこのように定義されたベート数の列はアレフ数の列と同じである、すなわちすべての順序数 α {\displaystyle \alpha } に対して ℶ α = ℵ α {\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }} であるということである。
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