アレフ関数の不動点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:12 UTC 版)
任意の順序数 α に対して α ≤ ℵ α {\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }} が成り立つ。多くの場合 ωα は α よりも真に大きい。例えば、任意の後続順序数 α に対してこれが成り立つ。しかしながら、正規関数の不動点補題（英語版）によって、アレフ関数 f ( α ) = ℵ α {\textstyle f(\alpha )=\aleph _{\alpha }} の不動点である極限順序数が存在する。最初のそのようなものは次の列の極限である。 ℵ 0 , ℵ ℵ 0 , ℵ ℵ ℵ 0 , … {\displaystyle \aleph _{0},\ \aleph _{\aleph _{0}},\ \aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots } 任意の弱到達不能基数はまたアレフ関数の不動点である。これは ZFC において次のように示せる。κ = ℵλ が弱到達不能基数とする。λ がもし後続順序数であれば、ℵλ は後続基数（英語版）になりしたがって弱到達不能でない。もし λ {\displaystyle \lambda } が κ よりも小さい極限順序数であれば、その 共終数（そしてしたがって ℵλ の共終数）は κ よりも小さく、したがって κ は正則でなくゆえに弱到達不能でない。したがって λ ≥ κ であるので λ = κ であり不動点である。
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