列の極限とは？わかりやすく解説

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数列の極限

(列の極限から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/08 16:13 UTC 版)

正整数 $n$ が大きくなるにつれて、値 $n \cdot sin 1 / n$ は $1$ にいくらでも近くなる。「数列 $n \cdot sin 1 / n$ の極限は $1$ である」という。

証明

^ 証明： $N = 1$ と選ぶ。すべての $n > N$ に対して、 $| x n - c | = 0 < ε$ である。
^ 証明： $N=\left\lfloor {\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor$ （床関数）と選ぶ。すべての $n > N$ に対して、 $| x n - 0| \leq x N +1 = 1/(⌊ 1 / ε ⌋ + 1) < ε$ である。

出典

^ ^a ^b Courant (1961), p.29.
^ Courant (1961), p.39.

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