一般連続体仮説
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 08:18 UTC 版)
連続体仮説を、可算濃度と連続体濃度だけではなく、ある集合の濃度と、その冪集合の濃度に対して拡張したものを、一般連続体仮説 (GCH) と呼ぶ。即ち、無限集合 X に対し、 card X < card Ω < card P ( X ) {\displaystyle {\mbox{card}}\,X<{\mbox{card}}\,\Omega <{\mbox{card}}\,{\mathfrak {P}}(X)} を満たすような Ω が存在しないという仮説のことである。冪集合の方が必ず大きくなることも、カントールの対角線論法によって証明できる。一般連続体仮説も、その名の通り、仮説として認識され、ZFC からの独立性が証明されている。 一般連続体仮説を肯定したとして、Ωに対し、連続体の中で最大元を持つ半順序集合をとる。 その集合とある冪集合の濃度の間には、他の濃度は存在しないことがいえるから、アレフ数の定義より、 card X = ℵ α ⟹ card P ( X ) = ℵ α + 1 {\displaystyle {\mbox{card}}\,X=\aleph _{\alpha }\ \Longrightarrow \ {\mbox{card}}\,{\mathfrak {P}}(X)=\aleph _{\alpha +1}} が言える。ここで、 card P ( X ) = 2 c a r d X {\displaystyle {\mbox{card}}\,{\mathfrak {P}}(X)=2^{{\rm {card}}\,X}} であるから、 ℵ α + 1 = 2 ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}} が成り立つ。
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