この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。出典検索? "イプシロン数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2019年3月
この項目では、数学における順序数について説明しています。物理定数の ε0 については「誘電率 」をご覧ください。
イプシロン数 あるいはエプシロン数 (英 : epsilon numbers )とは、数学 における超限順序数 の一つ。それ自身よりも小さい順序数から有限回の加算・乗算・冪乗では到達できない超限順序数として定義される。
α
=
ω
α
{\displaystyle \alpha =\omega ^{\alpha }}
γ と書き、これらをイプシロン数と呼ぶ。この中で最小のものが ε0 （イプシロン・ゼロ （英 : epsilon zero ）、あるいはイプシロン・ノート （英 : epsilon nought ））である。
ε0 はしたがって極限順序数 でもある。
ε
0
=
ω
ω
ω
⋅
⋅
⋅
.
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}.}
カントールの標準形 で表すと次の通り。
ε
0
=
ω
ε
0
.
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}.}
ε0 はまだ可算 である（前述の γ を非可算順序数とすると、非可算なエプシロン数が得られる）。この順序数は帰納法 を用いた様々な証明で非常に重要な役割を果たす。何故なら多くの場合、超限帰納法 は ε0 まで実行すれば十分だからである（例としてペアノ算術 の無矛盾性に関するゲンツェン の証明やグッドスタインの定理 の証明などがある)。これがゲンツェンの証明において用いられたこととゲーデル の第二不完全性定理 から、ペアノ算術ではこの順序の整礎性 を証明できないことが判る（事実、ε0 はこのような性質を持つ最小の順序数である。このことから、証明論 におけるordinal analysisではペアノ算術の体系の強さを測る尺度として利用されている）。
エプシロン数は、ドイツの数学者カントール によって順序数の算術（英語版 ） （順序数#順序数の演算 も参照）の文脈において導入された。
表記・関数表記
クヌースの矢印表記
ε
0
=
ω
↑↑
ω
.
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega \uparrow \uparrow \omega .}
ε
0
=
ω
↑↑↑
2.
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega \uparrow \uparrow \uparrow 2.}
ヴェブレン関数
ε
0
=
φ
1
(
0
)
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\varphi _{1}(0)}
ε
0
=
φ
(
1
,
0
)
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\varphi (1,0)}
ブーフホルツのψ関数
ε
0
=
ψ
(
0
)
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\psi \left(0\right)}
ヴァイアーマンのϑ関数
ε
0
=
ϑ
(
0
)
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\vartheta \left(0\right)}
基本列
ε
0
=
sup
{
ω
,
ω
ω
,
ω
ω
ω
,
ω
ω
ω
ω
,
…
}
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}}
テトレーションを使った表記
ε
0
=
sup
{
ω
↑↑
1
,
ω
↑↑
2
,
ω
↑↑
3
,
ω
↑↑
4
,
…
}
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\omega \uparrow \uparrow 1,\omega \uparrow \uparrow 2,\omega \uparrow \uparrow 3,\omega \uparrow \uparrow 4,\dots \}}
ε
0
=
sup
{
1
ω
,
2
ω
,
3
ω
,
4
ω
,
…
}
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{{}^{1}\omega ,{}^{2}\omega ,{}^{3}\omega ,{}^{4}\omega ,\dots \}}
ヴェブレン関数を使った表記
ε
0
=
sup
{
φ
0
(
1
)
,
φ
0
(
φ
0
(
1
)
)
,
φ
0
(
φ
0
(
φ
0
(
1
)
)
)
,
φ
0
(
φ
0
(
φ
0
(
φ
0
(
1
)
)
)
)
,
…
}
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\varphi _{0}(1),\varphi _{0}(\varphi _{0}(1)),\varphi _{0}(\varphi _{0}(\varphi _{0}(1))),\varphi _{0}(\varphi _{0}(\varphi _{0}(\varphi _{0}(1)))),\dots \}}
ε
0
=
sup
{
φ
(
0
,
1
)
,
φ
(
0
,
φ
(
0
,
1
)
)
,
φ
(
0
,
φ
(
0
,
φ
(
0
,
1
)
)
)
,
φ
(
0
,
φ
(
0
,
φ
(
0
,
φ
(
0
,
1
)
)
)
)
,
…
}
{\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\varphi (0,1),\varphi (0,\varphi (0,1)),\varphi (0,\varphi (0,\varphi (0,1))),\varphi (0,\varphi (0,\varphi (0,\varphi (0,1)))),\dots \}}
脚注
関連項目
最小の超限順序数 ω ヴェブレン階層 、ヴェブレン関数（Veblen function）フェファーマン・シュッテの順序数（英語版 ） （Feferman–Schütte ordinal）Γ0
外部リンク
