スキューズ数とは？わかりやすく解説

スキューズ数（スキューズすう、Skewes number）は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。具体的には、 $x$ 以下の素数の個数 $π(x)$ および対数積分 $li(x)$ について、 $π(x) > li(x)$ を満たす最小の自然数 $x$ の上界としてスキューズが与えた数を指すが、このような $x$ 自体を指すこともある。2021年時点で、このような $x$ は 10¹⁴ より大きく^[1] 1.3983 × 10³¹⁶ 未満^[2]であることが知られているが、正確な値は不明である。

歴史

素数定理によれば、 $π(x)$ は漸近的に $li(x)$ に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に $x$ が小さいあいだは常に $li(x)$ の方が大きいように見える。このことから、 $π(x) > li(x)$ となる $x$ が存在するか、という問題が自然に考えられる。ガウスやリーマンはそのような $x$ は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年の論文において、そのような $x$ が存在することのみならず、 $π(x) - li(x)$ の符号は無限回変わることを示した。すなわち、 $π(x)$ と $li(x)$ は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて $π(x)$ が $li(x)$ を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。

スキューズは、1933年の論文において、リーマン予想が真であるとの仮定の下に、 $π(x) > li(x)$ となる $x$ は、次の数以下に存在することを証明した。

e^{e^{e^{79}}}\left(\approx 10^{10^{10^{33.947}}}<10^{10^{10^{34}}}\right)

ポータル数学

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