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テトレーション

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/14 21:40 UTC 版)

テトレーション（英: tetration）とは、冪乗の次となる4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する二項演算である。超冪（ちょうべき）ともいう。テトレーションという語はルーベン・グッドスタインによって、「4」を意味する接頭辞 tetra- と「繰り返し」を意味する iteration から作り出された^[1]。

定義

任意の正の実数 a > 0 および非負整数 n ≥ 0 に対し、次のようにテトレーション ⁿa を再帰的に定める。

${\displaystyle {}^{n}a:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[{}^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

区間 x ∈ (0, 1] における y = x^x と y = x^−x のグラフ。

1/²x、 ²x の 0 から 1 までの定積分は二年生の夢と呼ばれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{{}^{2}x}}\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{}^{2}n}}&{\scriptstyle (=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots )}\\\int _{0}^{1}{{}^{2}x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }{{}^{2}(-n)}&{\scriptstyle (=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots )}\end{aligned}}}$

収束または振動する点

発散する点

複素数の累乗が可能なことから、テトレーションは複素数の底に対しても定義できる。

例えばテトレーション ⁿi は対数関数の主枝を用いて定められる。このときオイラーの公式から次の式が得られる。

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}\pi i(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}\pi b}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

${\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}}$

関数 ${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}$

^xa の一次近似によるグラフ（a = 4, e, 2, 1.5, 0.5）。漸近線はx = -2

一次近似（連続性のもと微分可能性を近似）は次のように与えられる。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\\\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\end{cases}}}$

^xa の二次近似によるグラフ（a = 4, e, 2, 1.5, 0.5）

（微分可能性についての）二次近似は次のように与えられる。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

複素平面上にテトレーション ${\displaystyle f=F(x+iy)}$

y = √x_s のグラフ。

超平方根（英: super square root）は ²x の逆であり、二つの等価な表記 ssrt(x), √x_s を持つ。

この関数は次のようなランベルトのW関数による表示を持つ。^[18]

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\mathrm {ln} (x))}={\frac {\mathrm {ln} (x)}{W(\mathrm {ln} (x))}}}$ カテゴリ

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