指数チャープ信号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/09 17:25 UTC 版)
幾何チャープ、指数チャープとも呼ばれる、では信号の周波数が時間に対して指数関数的に変化する。言い換えると、波形の2つの点、 t 1 {\displaystyle t_{1}} と t 2 {\displaystyle t_{2}} 、を選んだ時その2つの点の時間間隔を一定に保つなら、周波数比 f ( t 2 ) / f ( t 1 ) {\displaystyle f(t_{2})/f(t_{1})} が一定になる。 指数チャープにおいては、信号の周波数は、時間に対して指数的に変化する： f ( t ) = f 0 k t {\displaystyle f(t)=f_{0}k^{t}} f 0 {\displaystyle f_{0}} は開始周波数( t = 0 {\displaystyle t=0} )で、 k {\displaystyle k} は指数増加の割合である。一定のチャープ率を持つ線形チャープとは異なり、指数チャープはチャープ率が指数的に増加する。 指数チャープの位相は、時間領域で周波数の積分としてあらわされ： ϕ ( t ) = ϕ 0 + 2 π ∫ 0 t f ( τ ) d τ = ϕ 0 + 2 π f 0 ∫ 0 t k τ d τ = ϕ 0 + 2 π f 0 ( k t − 1 ln ( k ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\int _{0}^{t}k^{\tau }d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {k^{t}-1}{\ln(k)}}\right)\end{aligned}}} ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} は初期位相である( t = 0 {\displaystyle t=0} )。 対応する時間領域での指数チャープ正弦波は、ラジアンで表した位相の正弦関数であり： x ( t ) = sin [ ϕ 0 + 2 π f 0 ( k t − 1 ln ( k ) ) ] {\displaystyle x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {k^{t}-1}{\ln(k)}}\right)\right]} 線形チャープと同様、指数チャープの瞬時周波数は f ( t ) = f 0 k t {\displaystyle f(t)=f_{0}k^{t}} としてあらわされ、周波数ドメインで見ると、基本周波数に高調波が付加されたものになる。[要説明]
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