外延性の公理とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

外延性の公理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/26 05:39 UTC 版)

外延性の公理（がいえんせいのこうり、英: axiom of extensionality）は、ZF公理系を構成する公理の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。

定義

A, B を任意の集合とするとき、もし任意の集合 X について「X が A の要素であるならば、そのときに限り X は B の要素である」が成り立つならば、A と B は等しい。すなわち、

\forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\Rightarrow A=B)

外延性の公理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/11 10:09 UTC 版)

「集合」の記事における「外延性の公理」の解説

A, Bを任意の集合とするとき、もし任意の集合Xについて「XがAの要素であるならば、そのときに限りXはBの要素である」が成り立つならば、AとBは等しい、とする。すなわち、 ∀ A ∀ B ( ∀ X ( X ∈ A ⟺ X ∈ B ) ⇒ A = B ) {\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\Rightarrow A=B)} である。「外延性の公理」を参照直感的な説明としては、たとえば、{1, 3, 5, 7, 9} と { x | x は 10 未満の正の奇数 } は異なる表現だが、どちらも自然数 1, 3, 5, 7, 9 を要素とする集合であるので、等しい集合だとする、ということである。

※この「外延性の公理」の解説は、「集合」の解説の一部です。
「外延性の公理」を含む「集合」の記事については、「集合」の概要を参照ください。

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